【优质文档】不等式证明的常用基本方法(自己整理).pdf
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1、学习必备欢迎下载 证明不等式的基本方法 导学目标: 1. 了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2. 会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式 自主梳理 1. 三个正数的算术几何平均不等式:如果a,b,c0,那么 _, 当且仅当ab c 时等号成立 2. 基本不等式 ( 基本不等式的推广) :对于 n 个正数 a1,a2, an,它们的算术平均不小于 它们的几何平均,即 a1a2 an n n a1a2an,当且仅当 _ _时等 号成立 3. 证明不等式的常用五种方法 (1) 比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种
2、,其基本 思想是 _与 0 比较大小或 _与 1 比较大小 (2) 综合法:从已知条件出发,利用定义、_、_、性质等,经过一系列的推理、 论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法 (3) 分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的_条件,直至所需条件为已 知条件或一个明显成立的事实( 定义、公理或已证明的定理、性质等) ,从而得出要证的命 题成立为止,这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法 (4) 反证法 反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点, 结合已知条件, 应用公理、 定义、 定理、 性质等, 进行正确的推理,得到和命题的条件( 或已证明 的
3、定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的 结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法 反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与 假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾 (5) 放缩法 定义: 证明不等式时, 通过把不等式中的某些部分的值_或_, 简化不等式, 从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法 思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键 题型一用比差法与比商法证明不等式 1. 设 t a2b, sab 21,则 s 与 t 的大小关系是 ( A ) A.stB.st C.st D.s0; a2+b2
4、2(a-b-1); a 2+3ab2b2; , 其中所有恒成立的不等式序号是. 【解析】 a=0 时不成立 ; a 2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20, 成立 ; a=b=0 时不成立 ; a=2,b=1 时不成立 , 故恒成立的只有. 学习必备欢迎下载 题型二用综合法与分析法证明不等式 4.(1) 已知 x,y 均为正数,且xy,求证: 2x 1 x 22xyy22y 3; (2) 设 a,b,c0 且 ab bcca1,求证: abc3. 证明(1) 因为 x0,y0,x y0, 2x 1 x 2 2xyy2 2y2(x y) 1 2(x y) (x y) 1 2 3
5、 3 2 1 23,所以 2x 1 x 22xyy22y 3. (2) 因为 a,b,c0,所以要证a bc3,只需证明 (a bc) 2 3. 即证: a 2b2c22(ab bcca) 3,而 abbcca1, 故需证明: a 2b2c22(ab bcca) 3(ab bcca) 即证: a 2b2c2ab bcca. 而 abbcca a 2b2 2 b 2c2 2 c 2a2 2 a 2b2c2( 当且仅当 ab c 时等号成立 ) 成立 所以原不等式成立 5. 已知 a、b 都是正实数,且ab2. 求证: (1 2a)(1 b)9. 证明:法一因为 a、b 都是正实数,且ab2,所以
6、 2ab22ab 4. 所以 (1 2a)(1 b)12ab2ab9. 法二因为 ab2,所以 (1 2a)(1 b) (1 2a) 1 2 a 52 a 1 a . 因为 a 为正实数,所以a 1 a2 a 1 a2. 所以 (1 2a)(1 b)9. 法三因为 a、b 都是正实数,所以(1 2a)(1 b)(1 aa)1b 2 b 2 3 3 a 23 3 b 2 4 9 3 a 2b2 4 . 又 ab2,所以 (1 2a)(1 b)9. 思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它 们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条
7、理清楚, 所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相 互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野 题型三放缩法证明不等式 6.已知 0NB. M0,1 b0,1ab0, M N 1a 1a 1b 1b 22ab 1 a 1 b 0.答案: A 7. 若 a,bR,求证: |a b| 1|a b| |a| 1|a| |b| 1|b| . 证明当|a b| 0时,不等式显然成立当|a b| 0 时, 由 0 1 ,1 k 2 kk1 . 上面不等式中kN *,k1; 利用函数的单调性; 真分数性质“若00 ,则 a bn(k
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