【优质文档】全部的初等不等式证明.pdf
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1、学习必备欢迎下载 初等不等式证明 一、基本不等式及应用 基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式,它常被当作定理, 用于证明其他 一些不等式 . 基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式. 1.平均值不等式 设 12 , n a aa是n个正实数,记 12 111 n n n H aaa , 12 n nn Ga aa, 12n n aaa A n , 222 12n n aaa Q n , 分别称 nnnn HGAQ、为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均,则 有 nnnn HGAQ, 当且仅当 12n aaa时取等号 . 2.柯西( Cauc
2、hy)不等式 设,(1,2, ) ii a bR in,则 222 111 ()()() nnn iiii iii a bab, 当数组 12 , n a aa; 12 , n b bb不全为零时,当且仅当(1,2, ,0) ii ba in时取 等号 . 3.排序不等式 设两组实数 12 , n a aa; 12 , n b bb,满足 12n aaa, 12n bbb,则 有 1211nnn a ba ba b(反序和) 12 12 n iin i a ba ba b(乱序和) 1 12 2nn a ba ba b(同序 和) 当且仅当 12n aaa,或 12n bbb时取等号 . 学习
3、必备欢迎下载 4.琴生( Jensen )不等式 设连续函数( )f x的定义域为( ,)a b,如果对于( , )a b内的任意两个数 12 ,x x,都有 1212 ()() () 22 xxf xf x f, 则称( )f x为( , )a b上的凸函数 .若上式不等式反号,则称( )f x为( , )a b上的凹函数 . 若( )f x为( , )a b上的凸函数,则对于任意 12 ,( , ) n x xxa b有 12 12 1 ()()()() n n xxx ff xf xf x nn , 当且仅当 12n xxx时取等号 . 若为( , )a b上的凹函数,则对于任意 12
4、,( , ) n x xxa b有 12 12 1 ()()()() n n xxx ff xf xfx nn , 当且仅当 12n xxx时取等号 . 5.贝努利( Bernoulli)不等式 设1x,若0,或1,则 (1)1xx. 若0 1,则 (1)1xx. 当且仅当0x时,以上两式均取等号. 6.赫尔德( H lder)不等式 设,(1,2, ) iii a blRin,又,R,且1,则有 1111 () ()() nnnn iiiiii iiii a blabl,. 当且仅当 111 (1,2, ) kkk nnn iii iii abl kn abl 时取等号 . 特别当 1 n
5、时,有 1 1111 () ()()() nnnn n n iiiiii iiii a blabl. 7.切比雪夫 (Chebyshev)不等式 设两组实数 12 , n a aa; 12 , n b bb,若满足 12n aaa, 12n bbb或 12n aaa, 12n bbb,则有 学习必备欢迎下载 111 111 ()() nnn iiii iii a bab nnn . 若满足 12n aaa, 12n bbb,或 12n aaa, 12n bbb, 则有 111 111 ()() nnn iiii iii a bab nnn . 当且仅当 12n aaa,或 12n bbb时以上
6、两式均取等号. 8.加权幂平均不等式 设,(1,2, ) ii apRin,, r sR,且rs,则 11 11 11 nn rs rs iiii ii nn ii ii p ap a pp , 当且仅当 12n aaa时取等号 . 9. 其他 (1)设, , ,x y zR,且(21)k(kZ) ,则 i) 222 1 c o sc o sc o s() 2 y zz xx yxyz 当且仅当sinsinsinyzzxxy时取等号 . ii ) 2222 1 sinsinsin() 4 yzzxxyxyz, 当且仅当sin 2sin 2sin 2yzzxxy时取等号 . (2) 设 , ,1
7、,2, , ij xR i jn 则 22 1111 () nnnn ijij ijji xx, 当且仅当 123 : iiini xxxx(常数),1,2,3,in时取等号 . (3)设, iiii x y zlR, 2222 0 iiii xyzl,1,2,3,in,则 22222222 1111 11111 ()()()() nnnnn iiii iiiii xyzlxyzl , 当且仅当: iiii xyzl(常数),1,2,3,in时取等号 . (4)两个有用定理 定理 1 设, ,u vR ,记 1 suv, 2 suvvu, 3 suv, 1 3 3 3 s x s , 学习必备
8、欢迎下载 2 2 3 3 3 s y s ,则 i) 2 3()61(1) (91)(1)xyxyxyxyxy ( 1 )( 2 ) 32 83()61(1) (91)(1)xxyxyxyxyxy; ii) 2 3()61(1) (91)(1)xyxyxyxyxy ( 3 )( 4 ) 32 83()61(1) (91)(1)yxyxyxyxyxy. 当且仅当, ,u v中有两个数相等且不小于第三个数时,(1) 、 ( 4)两式取等号;当且仅 当, ,u v中有两个数相等,且不大于第三个数时,(2) 、 (3)两式取等号. 推论 1 同定理 1 条件,有 ( 5 )( 6 ) 32 4(1)4
9、(1) 164129()21 9595 xyxy xyxxyxy xyxy ; (7)(8) 32 4(1)4(1) 164129()21 9595 xyxy xyyxyxy xyxy 当且仅当uv时, (5) 、 (6) 、 (7) 、 ( 8)四式取等号. 推论 2 同定理 1 条件,有 3363 ( 9 )( 1 0 ) 122 72272 87 2 96 4 82 0 8 972 yyyy x yy ; 3363 ( 1 1 )( 1 2 ) 122 722 72 87 2 96 4 82 0 8 97 2 xxxx y xx , 当且仅当uv时, (9) 、 (10) 、 (11)
10、、 (12)四式均取等号. 定理 2 设, ,u vR, 记 1 suv, 2 suvvu, 3 suv, 2 12 3wss ( 1 0ws) ,则 32322323 ( 1 3 )( 1 4 ) 11111111 3 32(2) ()(2) ()32 2 72 72 72 7 ss wwswswswswss ww s, 当且仅当, ,u v中有两个数相等,且不小于 1 1 3 s时, (13)式取等号;当且仅当, ,u v中有 两个数相等,且不大于 1 1 3 s时, (14)式取等号 . 推论 3 同定理 2 条件,特别当 1 1s时,有 232223 ( 1 5 )( 1 6 ) 13
11、2(12) (1)(12) ( 1)132 2 72 72 72 7 wwwwwwww uv, 学习必备欢迎下载 当且仅当, ,u v中有两个数相等,且不小于 1 3 时, (15)式取等号;当且仅当, ,u v中有两 个数相等,且不大于 1 3 时, (16)式取等号 . 注:在应用定理2 与其推论3 时,要特别注意1 20w的情况,有时要对120w 和120w分别加以讨论,尤其在0u时的情况 . (一)算术几何平均值不等式应用例子 例 1 已知,1,2, i aRi,n, 且 1 1 n i i a ,求证 3 122311 1111 11111 nnn n aaaaaaaan ( 1)
12、当且仅当 12 1 n aaa n 时, (1)式取等号 . 例 2 (20XX 年全国十八所奥赛协作体学校试题)设, ,a b cR 且1bccaab, 求证 333 1111 666bca abcabc (2) 提示由 2 3 13bcabc知,可证更强式 333 3 1113 666bca abcabc (3) 333222 6663bcab ccaabcaba bc() 例 3 (2005,第 17 届亚太地区数学奥林匹克)设, ,x y zR 且8xyz,则 2 33 4 3 11 x xy (4) 当且仅当2xyz时, (4)式取等号 . 注:由本题证明中可知,若将条件改为12yz
13、zxxy,结论也成立. 例 4 (自创题, 2006.12.17) 设, ,a b cR ,则 学习必备欢迎下载 2 33 4 a a bc ,(5) 例 5 (自创题,1988.10.13)设同一平面上两个凸四边形的边长分别为, , ,a b c d和 ,a b c d,面积分别为和,那么 4a ab bc cd d(6) 当且仅当这两个凸四边形都内接于圆(不一定要同一个圆),且()()()sasasb ()()()()()sbsc scsdsd时, (6)式取等号 . 这里 1 () 2 sabcd, 1 () 2 sabcd. 附:凸四边形 ABCD四边长分别为ABa,BCb,CDc,D
14、Ad,当且仅 当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,最大值为 max 1 ()()()()() 4 ABCD Sabcdabcdabcdabcd( 7) 例 6 (自创题, 2006.12.26 )设, , ,a b c dR ,则 32222 ()4 ()()()() aa cdb dac abd bc (8) 当且仅当ac,bd时, (8)式取等号 . 例 7 设, ,x y zR ,求证 2 5 ()8 1xxyzx(9) 当且仅当xyz时, (9)式取等号 . (二)柯西不等式应用例子 例 1 设, ii xyR,1,2,in,且 1 0 n i i x, 1 0 n i i y,
15、 1 0 ij ijn x x, 1 0 ij ijn y y , 1 n i i xx ,则 111 ()2 n iiijij iijnijn xxyx xy y(1) y x d c b a D C B A 学习必备欢迎下载 当且仅当 12 12 n n xxx yyy 时, (1)式取等号 . 在( 1)式中,当3n时,被人们称之为“母不等式”.即以下 命题 1: 设 123123 , , , , ,x x x y y yR, 且 1 0x , 1 0y , 12 0x x , 12 0y y , 则 2311212 ()2xxyx xy y(2) 当且仅当 312 123 xxx yy
16、y 时, (2)式取等号 . 命题 1 应用如下: 1.(匹多不等式)ABC与A B C边长分别为, ,a b c和,a b c,面积分别为与 ,则 2222 ()16abc a(3) 当且仅当 ABCA B C 时, (3)式取等号 . 提示:取 222 xabc, 2222 xabc等,并应用三角形面积公式. 2. (程灵提出) 若ABC与AB C边长分别为, ,a b c和,a b c, 面积分别为与, 则 ()4 3abc a(4) 当且仅当 ABC与A B C 均为正三角形时, ( 4)式取等号 . 提示:在( 2)中取 1 xabc, 1 yabc等,并应用到 2 2bca 4 3
17、. 3.(安振平提出)若ABC与AB C边长分别为, ,a b c和,a b c,面积分别为与 ,则 2 () ()1 6abcabc a(5) 当且仅当 222 ()()() abc aabcb abcc abc 时, ( 5)式取等号 . 提示:在( 2)中取 222 1 xabc, 1 ()()yabc abc等. 4.(自创题, 1983.05.07)若ABC与AB C边长分别为, ,a b c和,a b c,面积分别 为与,则 () () ()1 6aabcabcabc(6) 当且仅当ABCA B C时, (6)式取等号 . 学习必备欢迎下载 提示:在( 2)中取 1 ()()xab
18、c abc, 1 ()()yabcabc等. 以上( 3)式与( 6)式有相同的取等号条件,试讨论他们左边式子的大小. 5. 设ABC三边长为,BCa CAb ABc,面积为,P为ABC内部或边界上 一点,从P分别向三边 BC、CA、AB所在直线作垂线, 垂足分别为D、E、F, 记 1 P Dr, 2 PEr, 3 PFr,则 2 2 32 4 2 r r bca . (7) 提示: 123 42()()arabc rr 2 3 2r r (a-b+c)(a+b-c) 2 2 3 2 2ar r bc. 我们还可以由 (2)式得到或证明更多不等式.又如第六章,“三角几何不等式”中的例 6、 例
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