【优质文档】六年级奥数最详细全面数论教师版.pdf
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1、学习必备欢迎下载 数论 数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密, 但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、 约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍 数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 【例 1】 一个 5 位数,它的各位数字和为43,且能被11 整除,求所有满足条件的5 位数 【分析】 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11 整除,但我
2、们发现被11 整除性 质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手 5 位数数字和最大的为9 5=45,这样 43 的可能性只有9,9,9,9,7 或 9,9,9,8,8这样我 们接着用11 的整除特征,发现符合条件的有99979,97999, 98989 【例 2 】 已知 ABCA 是一个四位数,若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数,CA 是一个质数与 一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_. 【分析】 本题综合利用数论知识,因为AB 是一个质数,所以B不能为偶数,且同时BC 是一个完全平方 数,则符合条件的数仅为16、36,当1B时,满足 A
3、B 是一个质数的数有11,31,41,61,71, 时,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有3163符合; 当3B,满足 AB 是一个质数的数有13,23,43,53,73,83,此时同时保证CA 是一个质 数与一个不为1的完全平方数之积,只有8368符合 【例 1 】2001个连续的自然数之和为abcd,若 a 、b、 c 、d都是质数,则abcd的最小值是 多少? 【分析】 遇到等量关系的表述时,先将其转化为数学语言设这2001个连续自然数中最小的一个是A,则 最大的一个是2000A( 遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量, 题目中没有时,
4、可以设未知数),则它们的和是: 2000 2001 10002001100032329 2 AA AA,则 1000A 是质数,所以A的 最小值是9abcd的最小值是:1009323291064. 分解质因数 专题精讲 专题回顾 学习必备欢迎下载 拓展 101 个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积,那么这个最小的和应该是_ 分析 设这101个自然数中最小的数为a ,则 101 个连续自然数的和为: a+( a +1)+( a +2)+ +( a +100) =( a + a+100) 1012=( a +50) 101 因为 101 是质数,所以a+50 必须是 3 个质数的乘积,要
5、使和最小 经检验 a +50=66=2 3 11 最小,所以和最小为66 101=6666 铺垫 已知=,其中、分别表示不同的数字,那么 四位数是多少? 分析 因 为 10101, 所 以 在 题 述 等 式 的 两 边 同 时 约 去 即 得 10101作质因数分解得10101 37 13 37,由此可知该数分解为3个两位数乘积的方 法仅有21 13 37注意到两位数 的十位数字和个位数字分别在另外的两位数 和 中出 现,所以 =13, =37, =21即 =7,=1,=3,=2,所求的四位数是7132 【例 2】N为自然数, 且 1N , 2N 、 、 9N 与 690 都有大于l 的公约
6、数N的最小值为 _ 【分析】6902 3523,连续 9 个数中,最多有5 个是 2 的倍数,也有可能有4个是 2 的倍数, 如果有 5 个连续奇数,这5个连续奇数中最多有2 个 3 的倍数, 1 个 5 的倍数, 1 个 23 的倍数, 所以必然有一个数不是2、3、5、23 的倍数,即与690 没有大于l 的公约数 所以 9 个数中只有4 个奇数,这个数中,有 2 个 3 的倍数,1 个 5 的倍数,1 个 23 的倍数,则1N、 3N、5N、7N、9N是偶数,剩下的4 个数中2N、8N是 3 的倍数( 5 个偶数当中 只有5N是 3 的倍数),还有4N、6N一个是 5 的倍数,一个是23
7、的倍数 . 剩下的可以用中国剩余定理求解,5N是 2 和 3 的倍数,且相邻两个数中一个是23 的倍数,另 一个是 5 的倍数,显然524N是最小解,所以N的最小值为19 【例 3】 已知,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,甲乙两数不是288 和 4 中的数,那么甲 乙两数的乘积为多少?和为多少 ? 【分析】 设甲乙两个数为4x, 4y,( x 和y都不等于1 或 72),则 x ,y两数互质,于是4x, 4y的最小公 倍数为 4xy ,所以 288 72 4 xy, 32 7223 ,由于 x ,y互质,所以2或3不可能在 x, y的因 子中都出现,所以x ,y一个是8一个是9,
8、所以两数的乘积等于44441152yxxy,和为 4448968xy. 【例 4】 有 15 位同学,每位同学都有编号,它们是1 号到 15 号 1 号同学写了一个自然数,2 号说: “ 这 个数能被2 整除 ” ,3 号说 “ 这个数能被3 整除 ” , ,依次下去,每位同学都说,这个数能被 他的编号数整除,1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问: 说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?如果告诉你,1 号写的数是五位数, 请求出这个数 【分析】 首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对不然,其中说的不对的编号乘 以2后所得编号也将
9、说得不对,这样就与“ 只有编号相邻的两位同学说的不对” 不符合因此,这 个数能被 2,3,4, 5,6,7都整除 其次利用整除性质可知,这个数也能被2 5,3 4,2 7都整除,即编号为10,12,14的同学说的 也对从而可以断定说的不对的编号只能是8和9 约数、倍数 学习必备欢迎下载 这个数是 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍数, 由于上述十二个数的最小公倍数是60060, 因为60060 是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1 号同学写的数就是 60060 拓展 一个两位数有6 个约数,且这个数最小的3 个约数和为10,那么此数为几? 分析
10、 最小的三个约数中必然包括约数1,除去 1 以外另外两个约数和是9,由于 9 是 1 个奇数,所以 这两个约数的奇偶性质一定是相反的,其中一定有一个是偶数,如果一个数包含偶约数,那么它 一定是 2 的倍数,即2 是它的约数于是显然的,2 是这个数第二小的约数,而第三小的约数是 7,所以这个两位数是14 的倍数,由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是 14 或 98,其中有6 个约数的是98 【例 5 】 两数乘积为2800,而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1,那么这两个数分别是 _、_ 【分析】 42 2800257 ,由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数
11、多1,所以这两个数中有一个数 的约数为奇数个,这个数为完全平方数故这个数只能为 2 2 、 4 2 、 2 5 、 22 25 或 42 25 经检 验,只有两数分别为 4 2 和 2 57 时符合条件,所以这两个数分别是16和175 铺垫 在三位数中,恰好有9个约数的数有多少个? 分析 91 93 3, 所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方, 或者两个不同质数的平方的乘积, 前者在三位数中只有256符合条件,后者中符合条件有100、196、484、676、225、441, 所以符合条件的有7个. 【例 6】 两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A
12、或B, 187CD,那么AB等于多少? 【分析】 最大公约数 C,当然是最小公倍数D的约数,因此C是187的约数,18711 17,C不等于 1, 只能是11C或者17C如果11C,那么18711 176DA和B都是176的约数,A和B 不能是 11,只能是 22,44,88,176 这四个数中的两个,但是这四个数中任何两个数的最大公约 数都不是11,由此得出C不能是11现在考虑17C,那么18717170D,A和B是 170 的约数,又要是17 的倍数,有34,85,170三个数,其中只有34 和 85 的最大公约数是17,因 此,A和B分别是 34 和 85,3485119AB 【例 7】
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