【优质文档】关于“一线三垂直”模型与其在平面几何中的应用.pdf
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1、- - 关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,(关于“一线三等角”模型详见比 例与相似高级教程(六):相似三角形的“一线三等角”模型),即三个等角角度为90o, 于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直”模型。 “一线三垂直”的性质: 1,模型中必定存在至少两个三角形相似,三对等角,三对成比例的边长; 2,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形。 “一线三垂直 ”模型在平面几何中有着及其重要的地位,常出现的图例有以下几种: 其中,在“变形 2”模型下,根据相似原理,推理出了著名 的 有一对对应边相等的情况。 “射影定
2、理”这里主要讨论 【 例 1】如图,在等腰直角三角 形 ABC 中, ACB=Rt , AC=BC ,AE CE 于 点 E, BD CE 于点 D , AE=5cm , BD=2cm ,则 DE 的长为多少? - - 【 提 示 】 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性 质 , ACE CBD , 于 是 CD=AE=5cm , CE=BD=2cm , DE=5-2=3 ( cm) 【例 2 】如图,在ABC 中, CA=CB ,点 D 为 BC 中点, CE AD 于点 E ,交 AB 于 点 F,连接 DF 。求证: AD=CF+DF. 【解析】此题乍一看起来和 【例从要证明的
3、结论来看,需 要把 1 】相同,却不能照搬照 抄。 AD 这条线段“转化”到 直线 CF 上。如图,过 点 B 作 BG CB ,交 CF 的延长线 于点 G 。 则易证 ACD CBG ,于是AD=CG=CF+FG ; BG=CD=BD , BF=BF , DBF= GBF=45o , 故 BDF BGF ,于是 FD=FG ,所以AD=CF+DF 。 - - 关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用(二) “一线三垂直”的性质: 1,模型中必定存在至少两个三角形相似,三对等角,三对成比例的边长; 2,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形。 【例 3 】如图,在 垂
4、线,垂足分别为 ( 1 )如图 1,过 点 ( 2 )如图 2,过 点 ABC 中, AB=AC E, F 。 A 的直线与斜边 A 的直线与斜边 , BAC=90o ,分别过B,C 向过 A 点的直线作 BC 不相交时,求证:EF=EB+CF ; BC 相交时,其他条件不变,若BE=10 , CF=3. 求 EF 的长。 【提示】 ( (2)图 2 1 )图 1 是 “一线三 垂直是“一线三垂直” 的变形 ”的基础模型, ABE 4,和【例 1 】相同。 CAF ; 【例 4 】如图,已知AEB AC 、 BD ,交于点 O,连接 中, EO 。 若 AEB=90o ,以 AB 为边向外作正
5、方形 BE=2 , EO=32,求五边形AEBCD ABCD ,连接 的面积。 【解析】因为ABC= AEB=90o ,故构造“一线三垂直”模型,如图。 - - 过点 C 作 CP EB ,交 EB 延长线于点 P,连接OP 。 则根据“一线三垂直 ”模型的性质, AEB BPC , BP=AE ; AOB= AEB=90o , A 、 E、 B、 O 四点共圆(详见“四点共圆”在解 题中的妙用(一) BEO= BAO=45o ; 同理 BPO= BCO=45o ,故 EOP 为等腰直角三角形; EO=32, EP=6 , BP=4 , 根据勾股定理,AB2=16+4=20 ,即 S 正方形A
6、BCD=20 , S AEB=4 2 2=4 , S 五边形AEBCD=20+4=24. ), - - 关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用(三) 【例 5】已知ABC 中, ACB=90o , AC=BC , CD 为 AB 边上的中线,点E 为 BC 边上任意一点(不与A、D、B 重合),BF CE 于点 F,交CD 于点 G ,AH CE , 交 CE 延长线于点 H ,交 CD 延长线于点 M 。 求证:( 1 ) CG=AE ;( 2 ) DE=DM 。 【提示】( 1 )根据“一线三垂直”模型, ACH CBF , ACE= CBG ,又 CAE= BCG=45o , A
7、C=BC , ACE BCG ; ( 2 )由 “一线三垂直”模型可知,ACE= CBG , BF=CH , HCM= FBE ,又 BFE= CHM=90o , CHM BFE , BE=CM ,从而DE=DM 。 同时我们也应该注意到:ACM CBE ; ADM CDE BDG ; AHE CFG ; DM=DG=DE ; GEM 为等腰直角三角形等。 构造“一线三垂直”模型,是作辅助线常用的一种手段。 【例 6 】如图,直线l1 l2 l3 ,且 l1 到 l2 的距离为3, l2 到 l3 的距离 为4 ,等腰直 角 ABC 的直角顶点C 在 l2 上,点 A 、 B 分别在 l1 、
8、 l3 上。求 ABC 的面积。 【提示】过点C 作 l2 的垂线,分别交l1 和 l3 于点 D 、 E ,构造“一线三垂直”模型, 则 CD=3 , AD=CE=4 , AC=5. - - 关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用(四) 【例7 】( 2018 初二希望杯练习题)如图,四边形ABCD 为直角梯形,AD BC , BCD=90o ,AB=BC+AD , DAC=45 o ,E 为 CD 上一点,且 BAE=45 o ,若 CD=4 , 求 ABE 的面积。 【解析】如图,过点E 作 EG AE ,交AB 延长线于点 DC 延长线于点H ,构造“一线三垂直”模 型;过点G
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