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1、学习必备欢迎下载 利用函数性质判断方程解的存在 渭南市陇海中学刘麦玲 尊敬的各位评委老师: 大家好! 今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在。下面 我将从教材的地位与作用、学情分析,教学目标与重难点,教法和学 法指导、教学过程设计、板书设计六个方面来阐述我对本节课的构思。 教材的地位与作用: 本节课是北师大版高中课程标准实验教科书必修1 第四章函 数应用第一节函数与方程第一课时的内容,是高中数学的新增内容, 是近年来高考的热点。 是在学生系统地掌握了函数的概念及性质,一 次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质的基 础上,进一步探究从函数的特征判断方程解的存在性及解的个
2、数,从 而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法。为下一节“二分法求 方程的近似解”提供了基础因此本节内容具有承前启后的作用。本 节课是培养学生 “ 等价转化思想 ” 、“ 数形结合思想 ” 、 “ 方程与函数思 想” 的优质载体 . 学情分析: 1、现有知识储备:基本掌握了基本初等函数的图像和性质及一次, 二次方程的解法,但是对一元二次函数与相应方程的联系认识不全 面,也没有上升到一般的函数与相应方程的层次. 2、现有能力特征:具有一定归纳、概括、类比的能力但习惯跟着老 师学习,缺少自主学习能力. 3、现有情感态度:对高次或超越方程的解法具有强烈求知欲和探究 的积极性 . 4、新知学习过程可
3、能存在问题: 对函数零点概念本质的理解,学生缺乏函数的观点,也有可 能会存在转化的困难;对零点存在条件的理解不够透彻. 5、程度差异性:中低等程度的学生占大多数,程度较高与成度很差 的学生占少数 . 根据本课教学内容的特点以及新课标和考纲对本节课的教学要求,结 合我校学生实际学情我特制定以下教学目标: 教学目标: 学习必备欢迎下载 知识与技能:(1)结合具体函数的图像,了解函数零点的概念 (2)理解方程的解和函数零点的关系,体会函数与方程的 有机联系,即求方程f(x)=0 的实数解就是求函数f(x)的零点 (3)能够利用函数性质判定方程解的存在性,掌握判断 函数的零点存在的方法 过程与方法:培
4、养学生预习的良好习惯;培养学生独立思考、自主观 察、合作探究、 归纳概括的能力;树立数形结合,函数与 方程相结合的思想;让学生感悟由具体到抽象、由“特殊 到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更 多的未知世界 . 情感态度与价值观:培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学 习习惯,初步体会事物间相互转化的辩证思想。 教学重点:理解方程的解与函数零点的关系,体会函数与方程的思 想,掌握方程解的存在性的判定方法。 教学难点:对方程解的存在性的判定的理解,结合图像求解零点问 题 重、难点突破措施: (1)由熟到生,有特殊到一般,启发引导 创设情境中,由熟到生解方程开题,扣人心弦,层层探
5、究,步 步引导,激发热情。 (2)数形结合,分类讨论 通过简单实例,数形结合,探究总结规律;利用分类讨论的数 学思想突破重难点。 (3)合作探究,分层提高 利用合作探究、分层训练和分层作业达到按需施教的效果。 教法与教学用具:教法上,以问题为纽带,从特殊到一般,激发学 生积极主动地进行探索; 同时向学生渗透问题意识, 培养学生发现问 题、解决问题、及归纳总结和逻辑推理的能力。 设置问题,由浅入深、 循序渐进,给不同层次的学生提供思考、 创造和成功的机会, 采用 “提 出问题引导探究得出结论实际应用”的教与学模式.借助 多媒体直观演示手段使教学更富趣味性和生动性。 学法指导:以培养学生探究精神为
6、出发点,着眼于知识的形成和发 展,着眼于学生的学习体验,让学生通过课前阅读教材、自主学习、 动手画图、思考,并相互讨论进行探索 学习必备欢迎下载 (自主探究观察发现合作交流归纳总结) 教学过程设计 (课前检查学生预习学案完成情况,对学生预习过程中存在问题 做到心中有数) 一、设问激疑,引出新知 问题 1判断下列方程是否有解?(寻求新的解决方法,引出课题) (1)023x;(2)065 2 xx; (3) 3 3610xx;(4)230 x x . 教师点题: 方程的解和函数的性质有重要的联系,本节课我们就 来探讨利用函数性质判定方程解的存在问题.(书写课题) 问题2(1)方程320x的解为,函
7、数32yx的图象 与 x 轴有个交点,交点的横坐标为 . (2)填表,同时观察图像与x 轴的交点个数,交点横坐标, 与相应方程的解有什么联系?(体会两个二次的联系 ) 一元二次方程 方程 的解 二次函数 函数的图像(简 图) 图像与 x 轴交点的 横坐标 2 230xx 2 23yxx 2 210xx 2 21yxx 032 2 xx 32 2 xxy 结论一:函数图像与 x轴交点的横坐标是相应方程的解,与x 轴的交 点个数是相应方程解的个数. 问题 3 若将上面特殊的一元一方程推广到一般的一元一方程,一元 二次方程推广到一般的一元二次方程,上述结论是否仍然成立? 2 0axbxc (0)a
8、方程的 根 函数的图象 (简图) 图象与 x 轴交点的 横坐标 0 学习必备欢迎下载 0 0 结论:成立 问题 4思考:对于一般的函数与方程是否也有上述的结论成立呢? (为函数零点概念的引出做好铺垫,学生有点疑惑) 继续完成下列练习: (1)方程220 x 的解为, 函数22 x y的图象与x 轴 有个交点,交点的横坐标为 . (2)方程lg(2)1x的解为,函数lg(2)1yx的图象 与 x 轴有个交点,交点的横坐标为 . 结论:成立 二、启发引导,形成概念 1.函数的零点的定义:我们把函数( )yf x的图像与横轴交点的 横坐标称为这个函数的零点 问题5 思考:函数 y=f(x)的零点、方
9、程 f(x)=0的实数根、函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,三者有什么关系? 结论二:函数 ( )yf x 的零点(或零点个数)函数 ()yf x 图像与 x 轴交点的横坐标(或与x 轴交点的个数)方程 ()0f x 的解(或 解的个数) 巩固练习 (加深对概念的理解 ) 1.函数 2 23yxx的零点是() A.(-1,0) , (3,0) ;B. x= -1 ;C. x= 3 ;D. -1 和 3 2.求下列函数的零点 . (1)()23f xx(2)()ln1f xx (3)( )39 x f x 1 (4)()fx x 方法提升:(1)零点是一个实数而不是一个点,当函数
10、自变量取这 个实数时函数值为零;(2)求函数的零点的方法, 解方程法、 图像法; (强调化归与转化的思想)(3)不是所有函数都有零点 . 2.利用函数性质判断函数零点方法的探究: 观察二次函数 2 ( )23f xxx的图像,填空: (1)在区间 2,1上,有 f(2) f(1) 0,则函数 f(x)在区 学习必备欢迎下载 6 4 2 -2 -4 5 f x = x2-2 x-3 间(-2,1)内有个零点; (2)在区间 2,4上,有 f(2) f(4) 0, 则函数 f(x)在区间( 2,4)内有个零点; (3)在区间 -2,4上,有 f(-2) f(4) 0, 则函数 f(x)在区间( -
11、2,4)内有个零点; (4)在区间 4,5上,有 f(4) f(5) 0, 则函数 f(x)在区间( 4,5)内有个零点; 问题 6 完成以上各题的过程中你有何发现? 发现:在区间 a,b上,若 .f(a) f(b)0 则此函数在区间 a,b上有零 点.教师追问:一定吗?举例函数 1 (4)()fx x 在区间 -2,3上.从而的 出:在区间 a,b上,若函数 f(x)的图像是连续的且f(a) f(b)0 则此函 数在区间 a,b上有零点 . 问题 7 满足上述两个条件,能否确定零点个数呢? 观察函数 f(x)的图像 1.f(a) f(b) 0, 函数 f(x)在区间 a,b上 有个零点 .
12、2.f(b) f(c) 0,函数 f(x)在区间b,c上有个零点 . 3. f(c) f(d) 0,函数 f(x)在区间c,d上有个零点 . 4. f(a) f(d) 0,函数 f(x)在区间a,d上有个零点 . 归纳总结出 : 方程的解的存在定理: 若函数在闭区间 a,b上的图像是连续曲线, 并 且在区间端点的函数值符号相反,即( )( )0f a f b,则在区间( , )a b内函 数( )yfx至少有一个零点, 即相应的方程()0f x在区间( , )a b内至少 学习必备欢迎下载 有一个实数解 . 巩固练习 1.判断下列结论是否正确 (定理辨析 ): (1)若 f(a) f(b)0
13、则函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点() (2)若函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点则 f(a) f(b)0 () (3) 若函数 ()yf x 的图像在区间 a,b上是连续曲线且 f(a) f(b)0 则 函数 y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点() (4)若函数()yf x的图像连续,且在区间( ,)a b上( )( )0f a f b,则 ( )yf x在区间( , )a b上没有零点() 设计意图:强调函数零点存在定理的三个注意点:(1) 函数是连 续的。 (2) 定理不可逆(3 )至少存在一个零点 2.下列区间中,函数( )43 x f xex的零点所在的
14、区间为() A. 1 (,0) 4 B. 1 (0,) 4 C. 1 1 (,) 4 2 D. 1 3 (,) 2 4 四、应用举例 (巩固提高 ): 例 1 判断下列方程在给定区间上是否有解?(引导学生自主完成) (1) 2 30 x x 1,0x(2)23 x x,3,5x 方法提升 :判断方程在给定区间解的存在性的判定方法:构造 函数计算区间端点值得出结论 例 2 教材例 3(函数零点存在性定理的应用) 例 3 求函数 f(x)=lnx +2x-6 的零点的个数 .(能力提高) 方法1:利用方程的解的存在性定理和该函数的单调性可以得出函数 在定义域上有且仅有一个零点 方法2:构造两个函数
15、的交点,得出唯一解的结论,体会函数和方程 之间相互转化的思想 四、课堂小结:(学生谈收获教师补充) a b 2 -2 -4 -6 -8 -15-10-5 x1 g x = x2-2 x +1 ab 学习必备欢迎下载 1.知识点小结: (1)函数零点与方程解的关系的关系. (2)判断函数()yfx 零点存在的方法: 解方程0)(xf,根据方程解的情况找函数零点; 当无法解方程0)(xf时,利用函数零点的定义进行判定(作 出函数图像); 利用函数零点存在性定理. (3)判断方程解存在性的方法 2.思想方法小结:数形结合、转化的思想 五、作业布置: 必做题: 教材第 119 页习题 4-1 A 组第 1,2 题 选做题 :1.若方程 2 210axx在(0,1)内恰有一解,求实数a 的取值 范围。 2.二次函数 2 (0)yaxbxc a中,0a c,则函数的零点个数 为多少个? 探究题 :本节课我们解决了方程23 x x,3,5x的解的存在性问题, 那么这个解是多少?如何来求解呢?请预习下一节课内容。作业为预 习下一节课内容 六、板书设计: 利用函数性质判定方程解的存在 一、函数的零点的概 念: 二、方程的解的存在 性定理: 例 1 例 2 例 3 多媒体投影区
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