【优质文档】初中几何反证法专题(编辑).pdf
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1、学习必备欢迎下载 初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义,懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路,并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,则可采用间接证法,反证法就是一种间 接证法, 它不是直接去证明命题的结论成立,而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推 出命题的结论必然成立,它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径,掌握这种方法, 对 于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单 介绍。 1反证法的概念: 不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立, 这样的证明方法叫做反
2、证法。 2反证法的基本思路: 首先假设所要证明的结论不成立,然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推 理,直至得出一个矛盾的结论来, 并据此否定原先的假设,从而确认所要证明的结论成立。 这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾,或是与数学中已知定理、公理和定义相 矛盾,还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出 的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。 3反证法的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立; 学习必备欢迎下载 (2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正 确 简而言之就是“反设归谬结论”三步曲。 例
3、题: 例 1已知: AB、 CD 是O 内非直径的两弦(如图1) ,求证 AB 与 CD 不能互相平分。 证明: 假设 AB 与 CD 互相平分于点M、则由已知条件AB、CD 均非 O 直径,可判定M 不是圆 心 O,连结 OA 、OB 、OM。 OA OB, M 是 AB 中点 (1) OM AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边) 同理可得: OM CD,从而过点M 有两条直线AB、CD 都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故 AB 与 CD 不能互相平分。 例 2已知:在四边形ABCD 中, M、N 分别是 AB、DC 的 中点,且MN( ADBC ) 。 求证: AD BC 学习必
4、备欢迎下载 (2) 证明:假设ADBC ,连结 ABD ,并设 P 是 BD 的中点,再连结MP 、PN。 在 ABD 中 BMMA ,BPPD MPAD ,同理可证PNBC 从而 MP PN(AD BC) 这时, BD 的中点不在MN 上 若不然,则由MN AD,MN BC,得 AD BC 与假设 ADBC 矛盾, 于是 M、P、N 三点不共线。 从而 MP PNMN 由、得(AD BC ) MN,这与已知条件MN (AD BC ) 相矛盾, 故假设 ADBC 不成立,所以AD BC 。 课堂练习 1求证:三角形中至少有一个角不大于60。 2求证:一直线的垂线与斜线必相交。 已知:设m,n
5、分别为直线l 的垂线 和斜线(如图), 垂足为 A, 斜足为 B。 求证: m 和 n 必相交。 学习必备欢迎下载 3在ABC 中, AD BC 于 D,BE AC 于 E,AD 与 BE 相交于 H, 求证: AD 与 BE 不能被点H 互相平分。 4求证:直线与圆最多只有两个交点。 5求证:等腰三角形的底角必为锐角。已知:ABC 中, ABAC,求证:B、 C 必为锐 角。 参考答案: 1证明:假设 ABC 中的A、 B、 C 都大于 60 则A B C3 60 180 这与三角形内角和定义矛盾,所以假设不能成立。 故三角形中至少有一个角不大于60。 2证明:假设m 和 n 不相交则 m
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