【优质文档】初中平面几何中的定值问题.pdf
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1、学习必备欢迎下载 平面几何中的定值问题 开场白:同学们,动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考 查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题,下面我们来看几 道题: 【问题 1】已知一等腰直角三角形的两直角 边 AB=AC=1 ,P 是斜边 BC 上的一动点,过 P作 PEAB 于 E,PFAC 于 F,则 PE+PF= 。 方法 1:特殊值法:把P 点放在特殊的B 点或 C 点 或 BC 中点。此种方法只适合小题。 方法 2:等量转化法: 这是绝大部分同学能够想到的 方法, PF=AE,PE=BE, 所以 PE+PF=BE+AE 。 方法 3:等
2、面积法:连接AP, ABCABPAPC SSSAB ACAB PEAC PF ABPEPF 总结语:这虽然是一道动态几何问题,难吗?不难,在解决过程中(方法2 抓住了边长AB 的不变性和PE,PF 与 BE,AE 的不变关系; 方法 3 抓住了面积的不变性) , 使得问题迎刃而解。 设计:大部分学生都能想到方法2,若其他两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自 己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答(赛比艳,艾科) (设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。) 过渡: 这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的 等腰三角形,问题有没有
3、变化,又该如何解决?请看: 【变式 1】若把问题1 中的等腰直角三角形改为 等腰三角形,且两腰AB=AC=5 ,底边 BC=6, 过 P 作 PE AB 于 E,PFAC 于 F,则 PE+PF 还是定值吗?若是,是多少? 若不是,为什么? 方法 1:三角形相似进行量的转化 ABMPBEPCF , AMPEPFAMPBAM PC PEPF ABPBPCABAB ()4 624 55 AM PBPCAM BC PEPF ABAB (板书) (M 为 BC 中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线是常作的辅助线,抓住这条线 的长度 是不变量这个特点,建立PE,PF 与 AM 之间的联系,化动为
4、静) 方法 2:等面积法: ABCABPAPC SSSBC AMAB PEAC PF 6 424 55 BC AM PEPF AB ( M 为 BC 中点)(板书) (解题要点: 抓住 三角形面积 是个不变量, 用等面积法求解,这是在三角形中求解与垂线段 有关的量的常用方法。 ) F E C A B P F E A BC P 学习必备欢迎下载 (若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西是什么?不变的这个量和变量PE,PF 之间 有什么联系,能不能用一个等式来表示? 学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量。 (设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法) (教师行为
5、:出示题之后,让学生做,教师下去看。叫用方法1 的同学先站起来回答,然后 再叫用方法2 的同学。以达到过渡到下一题的目的。) 问:我把题中的5 改为 a,6 改为 b,PE+PF 还是定值吗?你能求出这个定值吗? 答:是定值,求解方法不变。 问:由这题,你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗? 结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF= b h a (a 为腰长 ,b 为底边 长,h 为的边上的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况) (设计意图:培养学生探究的精神,养成勤总结的习惯) 问题:通过前面几题, 你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么?应该注意什么
6、问 题? 答:不要被 “动“、“变“迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形 之间的内在联系,找到不变量或不变关系,找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在 运动的过程中,是否需要讨论。 过渡:上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动,有些同学可能还是觉得不够刺激, 下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请看: 【变式2】已知 P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点,P 到三边的距离分别为 h1,h2,h3,则 P 到三边的距离之和是否为定值?为什么? (由上题的启示,学生可能很容易想到等面积法) ABCABPACPBCP SSSSBC AMAB PE
7、AC PFBC PD PEPFPDAM为定值(M 为 BC 中点)(板书) 可以用几何画板度量长度,进行演示 (设计意图:使学生更深一步理解等面积法的应用) 过渡:研究完了P 在三角形内部运动的情况,我们不防降低对P 点 的约束,让这个好动的点P 动到三角形外部去, 情况又会有何变化? 【变式 3】 已知 P为边长为a的等边三角形ABC 外任意一点,P 到三边的距离分别为h1,h2,h3, 则 P 到三边的距离之间有何关系?为什么? 图 1 图 2 图 3 F D E C A B P F D E C A B P D E F C A B P D E F C A B P 学习必备欢迎下载 在几何画
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