【优质文档】初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答.pdf
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1、学习必备欢迎下载 初中数学二次函数存在性问题总复习试题 1 (10 北京)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y= 4 1m x 2 4 5m x m 2 3m 2 与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A,点 B(2, n)在这条抛物线上。 (1) 求点 B 的坐标; (2) 点 P 在线段 OA 上,从 O 点出发向点运动,过P 点作 x 轴的 垂线,与直线OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE。 以 PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当 P 点运动 时, C 点、 D 点也随之运动 ) 当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长;
2、若 P 点从 O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1 个单位,同时线段OA 上另 一 点 Q 从 A 点出发向O 点作匀速运动, 速度为每秒2 个单位 (当 Q 点到达 O 点时停 止 运动, P 点也同时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线,与直线AB 交于点 F。延长 QF 到点 M,使得 FM=QF,以 QM 为斜边, 在 QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当 Q 点运动时, M 点, N 点也随之运动)。若 P点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形 分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值。 答案: 解:(1) 拋物线 y= 4 1m x 2 4 5m x m 2
3、3m 2 经过原点, m 2 3m 2=0,解得 m1=1, m2=2, 由题意知m 1,m=2, 拋物线的解析式为y= 4 1 x 2 2 5 x,点 B(2,n)在拋 物线 y= 4 1 x 2 2 5 x 上, n=4,B 点的坐标为 (2,4)。 (2) 设直线 OB 的解析式为y=k1x,求得直线OB 的解析式为 y=2x, A 点是拋物线与x 轴的一个交点,可求得A 点的 坐标为 (10,0),设 P 点的坐标为 (a,0),则 E 点的坐标为 (a,2a),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图 1。可求 得点 C 的坐标为 (3a,2a),由 C 点在拋物线上,得 2a= 4 1
4、 (3a) 2 2 5 3a,即 4 9 a 2 2 11 a=0,解得 a1= 9 22 ,a2=0 (舍去 ),OP= 9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN,设直线 AB 的解析式为y=k2x b,由点 A(10,0), 点 B(2,4),求得直线AB 的解析式为y= 2 1 x 5,当 P 点运动到t 秒时,两个等 腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况: 第一种情况: CD 与 NQ 在同一条直线上。如图2 所示。可证 DPQ 为等腰直角 三 角形。 此时 OP、 DP、AQ 的长可依次表示为t、 4t、2t 个单位。 PQ=DP=4t, x y O 1
5、1 O A B C D E P y x 图 1 学习必备欢迎下载 t 4t 2t=10,t= 7 10 。 第二种情况: PC 与 MN 在同一条直线上。如图 3所示。 可证 PQM 为等腰直角 三 角形。此时OP、AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位。 OQ=10 2t,F 点 在 直线 AB 上, FQ=t,MQ=2t,PQ=MQ=CQ=2t,t 2t 2t=10, t=2。 第三种情况:点P、Q 重合时, PD、QM 在同一条直线上,如图4 所示。此时 OP、 AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位。 t 2t=10,t= 3 10 。综上,符合 题意的 t 值分别为 7 10 ,2,
6、 3 10 。 2 ( 10 湖北黄冈)已知抛物线 2 (0)yaxbxc a顶点为 C(1,1)且过原点O.过抛物 线上一点 P(x,y)向直线 5 4 y作垂线,垂足为M,连 FM(如图) . (1)求字母a,b, c 的值; (2)在直线x1 上有一点 3 (1, ) 4 F,求以 PM 为底边的等腰三角形PFM 的 P 点的坐标,并 证明此时 PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t) ,使 PMPN 恒成立,若存在请求 出 t 值,若不存在请说明理由. 答案: (1)a 1,b2,c0 (2)过 P 作直线x=1 的垂线,可求P 的纵坐标为 1 4
7、,横坐标为 1 13 2 .此时, MP MFPF1,故 MPF 为正三角形 . E x O A B C y P M Q N F D 图 2 x y O A M (C) B (E) D P Q F N 图 3 图 4 y x B O Q(P) N C D M E F 学习必备欢迎下载 (3)不存在 .因为当 t 5 4 ,x 1 时,PM 与 PN 不可能相等,同理,当t 5 4 ,x1 时, PM 与 PN 不可能相等 . 3 (10 辽宁丹东)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(8,0) , 点N的坐标为(6, 4) (1 )画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图
8、形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点 M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C) ; (2 )求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; (3 )截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形 BEFG的面积S 与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; 面积S是否存在最小值?若存 在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由; (4)在( 3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接 写出此 时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由 答案: (1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC A,B,C三点与M,N,H分别
9、关于点O中心对称, A(0,4) ,B(6,4) ,C(8,0) ( 写错一个点的坐标扣1 分) (2 )设过A,B,C三点的抛物线关系式为 2 yaxbxc, 抛物线过点A(0,4) , 4c则抛物线关系式为 2 4yaxbx 将B(6, 4) ,C(8,0)两点坐标代入关系式,得 36644 64840 ab ab , O M N H A C E F D B 8 (6, 4) x y x y O M N (-6,-4) H (-8,0) 学习必备欢迎下载 解得 1 4 3 2 a b , 所求抛物线关系式为: 2 13 4 42 yxx (3 )OA=4,OC=8,AF=4m,OE=8m
10、AGFEOFBECEFGBABCO SSSSS 四边形梯形 2 1 OA(AB+OC) 1 2 AFAG 1 2 OEOF 1 2 CEOA mmmmm4 2 1 )8( 2 1 )4( 2 1 864 2 1 )( 288 2 mm ( 0m4) 2 (4)12Sm 当4m时,S的取最小值 又0m4,不存在m值,使S的取得最小值 (4 )当226m时,GB=GF,当2m时,BE=BG 4已知:函数y=ax 2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点 (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次 函数 y=ax 2+x+1 图象的顶点为 B,与 y 轴的交点为A,P 为图象上 的一点,若以
11、线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点 B,求 P 点的坐标; (3)在 (2)中,若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M,试探索点M 是否在抛物 线 y=ax2+x+1 上,若在抛物线上,求出 M 点的坐标;若不在,请说明理由 答案:解 : (1)当 a = 0时,y = x+1 ,图象与x轴只有一个 公共点 当a 0时,=1- 4 a=0 ,a = 1 4 ,此时,图象与x轴只有一个公共点 函数的解析式为:y=x+1 或y=1 4 x 2+x+1 (2)设 P为二次函数图象上的一点,过点 P 作 PCx 轴于点 C y=ax2+x+1 是二次函数,由( 1)知该函数关系式为: y
12、=1 4 x 2 +x+1,则顶点为B(-2,0) ,图象与y 轴的交点 坐标为 A( 0,1)以 PB 为直径的圆与直线AB 相切于点BPBAB则 PBC= BAO RtPCBRtBOA AO BC OB PC ,故 PC=2BC,设 P 点的坐标为 (x,y), ABO 是锐角, PBA 是直角, A x y O B 学习必备欢迎下载 PBO 是钝角, x-2 BC=-2-x, PC=-4-2x,即 y=-4-2x, P 点的坐标为 (x,-4-2x) 点 P 在二次函数y=1 4 x 2+x+1 的图象上, -4-2x= 1 4 x 2+x+1 解之得: x 1=-2, x2=-10 x
13、-2 x=-10, P 点的坐标为: (-10,16)(3)点 M 不在抛物线 y=ax2+x+1 上由( 2) 知: C 为圆与 x 轴的另一交点,连接CM,CM 与直线 PB 的交点为Q,过点 M 作 x 轴的垂 线,垂足为D,取 CD 的中点 E,连接 QE,则 CMPB,且 CQ=MQ QEMD ,QE=1 2 MD ,QECE CMPB,QECEPCx 轴 QCE=EQB=CPB tanQCE= tanEQB= tanCPB =1 2 CE=2QE=22BE=4BE,又 CB=8,故 BE= 8 5 ,QE=16 5 Q 点的坐标为 (-18 5 ,16 5 ) 可求得 M 点的坐标
14、为 (14 5 ,32 5 ) 1 4( 14 5 ) 2+(14 5 )+1 =144 25 32 5 C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线 y=ax 2+x+1 上 5 (10 重庆潼南)如图, 已知抛物线cbxxy 2 2 1 与 y 轴相交于C,与 x 轴相交于A、 B,点 A 的坐标为( 2,0) ,点 C 的坐标为( 0,-1). (1)求抛物线的解析式; (2 )点 E 是线段 AC 上一动点, 过点 E 作 DEx 轴于点 D,连结 DC,当 DCE 的面积 最大时,求点D 的坐标; (3)在直线BC 上是否存在一点P,使 ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,
15、若不存在,说明理由. 答案:解:( 1)二次函数 cbxxy 2 2 1 的图像经过点A(2,0)C(0, 1) 1 022 c cb 解得:b= 2 1 c=1 二次函数的解析式为1 2 1 2 1 2 xxy (2)设点 D的坐标为( m,0) (0 m2) OD=mAD =2-m 由 AD E AOC 得, OC DE AO AD 12 2DEm DE= 2 2m A B C E D x y o 题图26 学习必备欢迎下载 CDE 的面积 = 2 1 2 2m m = 24 2 mm = 4 1 )1( 4 1 2 m 当 m=1 时, CDE 的面积最大 点 D 的坐标为( 1,0)
16、(3)存在由(1)知:二次函数的解析式为1 2 1 2 1 2 xxy 设 y=0 则1 2 1 2 1 0 2 xx解得: x1=2 x2= 1 点 B 的坐标为( 1,0)C(0, 1) 设直线 BC的解析式为: y=kx b 1 0 b bk 解得: k=-1 b=-1 直线 BC的解析式为 : y= x1 在 RtAOC 中, AOC=90 0 OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC=5 点 B(1,0) 点 C(0, 1) OB=OC BCO=45 0 当以点C为顶点且PC=AC=5时, 设 P(k, k1) 过点 P作 PHy 轴于 H HCP= BCO=45 0 CH=PH= k
17、在 RtPCH中 k 2+k2= 2 5解得k1= 2 10 , k2= 2 10 P1( 2 10 ,1 2 10 )P2( 2 10 ,1 2 10 ) 以 A为顶点,即AC=AP=5 设 P(k, k1) 过点 P作 PG x 轴于 G AG= 2k GP= k1 在 RtAPG 中AG 2PG2=AP2 (2k) 2+(k1)2=5 解得: k1=1, k2=0( 舍) P3(1,2) 以 P为顶点, PC=AP设 P(k, k 1) 学习必备欢迎下载 过点 P作 PQ y轴于点 Q PLx轴于点 L L( k,0) QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP= PA
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