【优质文档】初中数学竞赛专题辅导_中位线及其应用.pdf
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1、学习必备欢迎下载 初中数学竞赛专题辅导中位线及其应用 例 1 如图 2-53所示 ABC中,AD BC于 D ,E,F, ABC的面积 分析 由条件知,EF, EG分别是三角形 ABD和三角形 ABC的中位线利 用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出ABC 的高 AD及 底边 BC的长 解 由已知, E,F分别是 AB ,BD的中点,所以, EF是ABD 的一条 中位线,所以 由条件 AD+EF=12( 厘米)得 EF=4(厘米) , 从而 AD=8(厘米) , 由于 E,G分别是 AB ,AC的中点,所以 EG是ABC 的一条中位线, 所以 BC=2EG=26=12(厘米) , 显
2、然, AD是 BC上的高,所以 例 2 如图 2 -54 所示 ABC中, B,C的平分线 BE ,CF相交于 O ,AG BE于 G ,AH CF于 H 学习必备欢迎下载 (1) 求证: GH BC ; (2) 若 AB=9厘米, AC=14厘米, BC=18厘米,求 GH 分析 若延长 AG ,设延长线交 BC于 M 由角平分线的对称性可以证明 ABG MBG ,从而 G是 AM的中点;同样,延长AH交 BC于 N,H是 AN 的中点,从而 GH就是 AMN 的中位线,所以GH BC ,进而,利用 ABC 的三边长可求出 GH的长度 (1) 证 分别延长 AG ,AH交 BC于 M ,N,
3、在 ABM 中,由已知, BG平 分ABM ,BG AM ,所以 ABG MBG(ASA) 从而, G是 AM的中点同理可证 ACH NCH(ASA) , 从而, H是 AN的中点所以 GH是AMN 的中位线,从而, HG MN , 即 HG BC (2) 解 由(1) 知, ABG MBG 及ACH NCH ,所以 AB=BM=9 厘米, AC=CN=14 厘米 又 BC=18厘米,所以 BN=BC -CN=18 -14=4(厘米), MC=BC-BM=18 -9=9(厘米) 从而 MN=18 -4-9=5(厘米) , 说明 (1) 在本题证明过程中, 我们事实上证明了等腰三角形顶角平分 线
4、三线合一 (即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线) 性质定 理的逆定理:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平 分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形” 学习必备欢迎下载 (2) “等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的:“若三 角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形, 这条平分线垂直于对边”同学们不妨自己证明 (3) 从本题的证明过程中,我们得到启发:若将条件“B,C的平 分线”改为“ B(或C)及C(或B)的外角平分线” ( 如图 2-55 所示) , 或改为“ B,C的外角平分线” ( 如图 2-56 所示) ,其余条件不变,那
5、么,结论 GH BC仍然成立同学们也不妨试证 例 3 如图 2-57所示 P是矩形 ABCD 内的一点,四边形 BCPQ 是平行 四边形, A,B,C ,D分别是 AP ,PB ,BQ ,QA的中点求证: A C=BD 分析 由于 A,B,C,D 分别是四边形 APBQ 的四条边 AP ,PB , BQ ,QA的中点,有经验的同学知道ABC D是平行四边形, AC 与 BD 则是它的对角线,从而四边形ABCD应该是矩形利用 ABCD 是矩形的条件,不难证明这一点 证 连接 AB,BC ,C D,DA,这四条线段依次是 APB , BPQ ,AQB ,APQ 的中位线从而 ABAB ,BCPQ
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