【优质文档】初中数学竞赛专题选讲换元法(含答案).pdf
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1、学习必备欢迎下载 初中数学竞赛专题选讲(初三.8) 换元法 一、内容提要 1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的 表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简,化难为易,沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进 行代换 . 3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若 新变量的取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验. 4.解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换. 5.倒数方程的特点是:按未知数降幂排列后,与首、末等距离的项的系
2、数相等. 例如:一元四次的倒数方程ax4+bx 3+cx2+bx+a=0. 两边都除以x2,得 a(x2+ 2 1 x )+b(x+ x 1 )+c=0. 设 x+ x 1 =y, 那么 x 2+ 2 1 x = y 2 2, 原方程可化为ay2+by+c2=0. 对于一元五次倒数方程ax5+bx 4+cx3+cx2+bx+a=0 , 必有一个根是 1. 原方程可化为(x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2 +b1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ,这是四次倒数方程. 形如ax4bx 3+cx2bx+a=0 的方程,其特点是: 与首、末等距离的偶数
3、次幂项的系数相等,奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为 a(x2+ 2 1 x )b(x x 1 )+c=0. 设 x x 1 =y, 则 x 2+ 2 1 x =y 2+2, 原方程可化为ay2by+c+2=0. 二、例题 例 1.解方程111 2 xxx=x. 解:设11xx=y, 那么 y 2=2x+2 1 2 x. 学习必备欢迎下载 原方程化为:y 2 1 y 2=0 . 解得y=0;或 y=2. 当 y=0 时,11xx=0 (无解 ) 当 y=2 时,11xx=2, 解得, x= 4 5 .检验(略) . 例 2.解方程: x 4+(x4)4=626. 解: (
4、用平均值 2 4xx 代换,可化为双二次方程.) 设 y= x 2 ,则 x=y+2. 原方程化为(y+2) 4+(y 2)4=626. (y+2) 2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0 整理,得y4+24y2297=0. (这是关于y 的双二次方程). (y 2+33)(y29)=0. 当 y 2+33=0 时, 无实根; 当 y 29=0 时, y=3. 即 x2= 3, x=5;或 x=1. 例 3.解方程: 2x 4+3x316x2+3x+2=0 . 解:这是个倒数方程,且知x0, 两边除以x 2,并整理 得 2(x 2+ 2 1 x )+3(x+ x 1 ) 16=0.
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