【优质文档】四勾股定理知识点与常见题型总结.pdf
《【优质文档】四勾股定理知识点与常见题型总结.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【优质文档】四勾股定理知识点与常见题型总结.pdf(5页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、勾股定理知识点与常见题型总结 勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 222 abc 。 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了 “ 勾三,股四,弦五” 形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直 角边的平方和等于斜边的平方。 .勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法。 用拼图的方法验证勾股定理的思路是: 图形进过割补拼
2、接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变; 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。 常见方法如下: 方法一:4 EFGH SSS 正方形正方形 ABCD, 221 4() 2 abbac ,化简可证 c ba H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221 42 2 Sabcabc , 大正方形面积为 222 ()2Sabaabb ,所以 222 ab c . 方法三: 1 () (
3、) 2 Sabab 梯形 , 211 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 ,化简得证。 .勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和 钝角三角形来说就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形。 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边。 在ABC 中, 90C ,则 22 cab, 22 bca, 22 acb 。 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系。 可运用勾股定理解决一些实际问题。 .勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c 满足 222 abc
4、,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形 ” 来确定 三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 22 ab 与较长边的平方 2 c 作比较,若它 们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若 222 abc ,时,以 a, b , c 为三边的三 角形是钝角三角形;若 222 abc ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形; 定理中 a, b, c 及 222 abc 只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a , b , c 满足 222
5、acb ,那么以 a, b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边; 勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角 形是直角三角形。 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 222 abc 中, a , b , c 为正整数时, 称 a, b , c 为一组勾股数; 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25 等; 用含字母的代数式表示n组勾股数: 22 1,2 ,1nn n(2,nn为正整数); 22 21,22 ,221nnnnn( n为正整数); 2
6、222 ,2,mnmn mn (,mnm , n为正整数)。 .勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什 么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使 用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在 具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和 与第三边的平方比较而得到错误的结
7、论 .勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体通常既要通 过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题 的解决 常见图形: A B C 30 D C BA A DB CC BD A 题型一:直接考查勾股定理 例 .在ABC中,90C已知6AC,8BC求AB的长; 已知17AB,15AC,求BC的长。 解: 22 10ABACBC; 22 8BCABAC 题型二:应用勾股定理建立方程 例 .在ABC中,90ACB,5ABcm ,3BCcm ,CDAB于D,CD; 已知直角三角形的两直角边长之
8、比为3: 4,斜边长为 15,则这个三角形的面积为; 已知直角三角形的周长为30 cm ,斜边长为 13 cm ,则这个三角形的面积为。 解: 22 4ACABBC, 2.4 AC BC CD AB D B A C 2 1 E D C B A 设两直角边的长分别为3k , 4k 222 (3 )(4 )15kk, 3k,54S 设两直角边分别为a, b ,则17ab, 22 289ab,可得60ab 1 30 2 Sab。 例 .如图ABC中,90C,12,1.5CD,2.5BD,求AC的长。 解:作DEAB于E, 12,90C1.5DECD 在 BDE中, 22 90 ,2BEDBEBDDE
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 优质文档 优质 文档 勾股定理 知识点 常见 题型 总结
链接地址:https://www.31doc.com/p-5298688.html