【优质文档】多元一次不定方程的完整讲义和练习.pdf
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1、精品资料欢迎下载 二元 一次不定方程 知识要点和基本方法 1当一个方程中未知数的个数多于一个时,称这个方程为不定方程只讨论有二个未知数 的一次不定方程 2一个不定方程总有无穷多组解,但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正 整数解,此时,它可能仍有无穷多组解,也可能只有有限组解,甚至可能无解 例1解方程83yx 解:由原方程,易得yx38因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,此时x 与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的解可表为 ky kx38 其中k为任意数 整数解问题: 例2求方程863yx的整数解 解:因为)2(363yxyx, 所以,不论x与
2、y取何整数,总有,633yx但3不能整 除 8,因此,不论x与y取何整数,yx63都不可能等于8,即原方程无整数解 定理 1:整系数方程cbyax有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除 c 例3求方程34104yx的整数解 解:因为 4 与 10 的最大公约数为2,而 34 是 2 的倍数,由定理得,原方程有整数解。 两边约去 2 后,得,1752yx故 5 217x y,因此,要使y取得整数, 1x27=15, 3y,即我们找到方程的一组解,3, 1 00 yx设原方程的所有解的表达式为: ny mx 3 1 代入原方程,得05217)3(5)1(2nmnm(nm,为整数)
3、2 与 5 互 质,所以kknkm(2,5为整数)由此得到原方程的所有解为 ky kx 23 51 (k为任意整 数) 定理 2。若a与b的最大公约数为1(即a与b互质), 00,y x为二元一次整系数不定方程 cbyax的一组整数解(也称为特解),则cbyax的所有解(也称通解)为 akyy bkxx 0 0 其中k为任意整数 但不定方程11051999yx很难直接找到一组整数解 例4求方程1253yx的整数解。 解:由yxyx 3 5 41253,所以当且仅当y是 3 的倍数时,取,3y得 ,13 3 5 4x即3,1 yx是原方程的一组解,因此,原方程的所有整数解为 ky kx 33 5
4、1 (k为任意整数) 精品资料欢迎下载 例5求方程3153yx的整数解 解:由原方程得: 3 1 210 3 531y yx y x要使方程有整数解, 3 1y 必须为整 数,取,2y得71410 3 1 210 y yx,故2,7 yx是原方程的一组解,因 此,原方程的所有整数解为 ky kx 32 57 (k为任意整数) 例 6:若干只6 脚蟋蟀和8 脚蜘蛛,共有46 只脚,则蟋蟀和蜘蛛各有多少只? 解:设有 x 只蟋蟀只,蜘蛛y 只,则方程6x+8y=46 ,即 3x+4y=23 , 3 423y x,变形为 3 2 7 y yx,,61y又y为正整数,且24y能被 3整除,2y或 5y
5、,把2y,5y代入得方程的正整数解为 5 1 , 2 5 y x y x 例 7:用 16 元钱买面值为20 分、 60分、 1 元的三种邮票共18 枚,每枚邮票至少买1 枚,共有 多少种不同的买法? 解:设买面值为20 分的邮票x 枚,面值为60分的邮票y 枚,则买面值为1 元的邮票为 )18(yx枚,根据题意得1600)18(1006020yxyx,即52yx, 由, 2125xxy又212,12, 1)25(18xxxx, 因此x可取的正整数值为1,2;当1x时,3y,1418yx当2x时, 1518, 1yxy,均符合 正整数解问题 例1 求方程3153yx的正整数解。 解:我们知道3
6、153yx的所有整数解为k ky kx ( 32 57 为任意整数) 故要求原方程的正整数解,只要使0,0 yx即可,所以 032 057 k k 3 2 5 7 k,注意 到k为整数,所以1,0k得所有正整数解 5 2 ; 2 7 y x y x 例2 求方程735yx的正整数解。 解:原方程可化为 5 73y x,即 5 ) 1(3 2 y x其中4, 1 yx为原方程的一组整数 解,因此,原方程的所有整数解为 ky kx 54 31 (k为任意整数) 令0, yx得: 3 1 054 031 k k k (k为整数)3, 2, 1,0k 原方程可得无穷多组正整数解 ky kx 54 31
7、 (3,2, 1,0k) 精品资料欢迎下载 例3 求方程12511yx的正整数解。 解:如果方程有正整数解,则,1, 1 yx因此16511511yx 12, 这个方程无正 整数解。 说明:一般地,若方程cbyax中,cbaba,0.0,则这个方程无正整数解。 例4 如果三个既约真分数 6 , 4 , 3 2ba 的分子都加上b,这时得到的三个分数的和为6,求这三 个既约真分数的积。 解:由题意得6 643 2bbbab ,整理得,64113ba问题转化为求64113ba 的正整数解。 3 1 421 b ba,不定方程有一组整数解 2 14 b a 它的所有整数解为 k kb ka ( 32
8、 1114 为任意整数)令0,0 ba,得不等式组 3 2 11 14 032 01114 k k k 整数1;0k。因此方程有两组正整数解 5 3 ; 2 14 b a b a , 4 a 与 6 b 为既约真分数,所以 5, 3 ba是它的唯一解,因此所求的积为 16 5 6 5 4 3 3 2 例5 今有 36 块砖, 36 人搬,男搬4 块,女搬3 块,两个小孩抬一块,问男、女、小孩各有 多少人? 解:设男、女、小孩分别为zyx,人,又题意列方程组: 36 2 1 34 36 zyx zyx ;消去z得 7 51 53657 y xyx;观察得3, 3 00 yx是方程的一个解;所以方
9、程的通解为 ty tx 73 53 (t为整数)。又依题意得120,90yx; 7 3 5 3 12730 9530 t t t ,又t为整数,故只有3, 3,0yxt则 30z 答:有男 3 人,女 3 人,小孩 30 人。 例6 一批游人分乘若干辆汽车,要求每车人数相同(最多每车32人)。起初每车乘22 人, 这时有一人坐不上车,开走一辆空车,那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车,问原来 有多少辆汽车?这批游人有多少? 解:设原有汽车x辆,总人数为)1(xn,由已知条件: 32 2 122)1( n x xxn n xx x n 1 23 22 1 122 是人数,应为正整数,231x,11
10、x或 23, 45,2 nx或23,24 nx共有汽车24 辆,游人共529 人。 例7 求方程1985)52)(12(yx的正整数解 精品资料欢迎下载 解:39751985,52, 12yx应是正整数,故有以下四种可能: 909 1 ; 0 199 , 196 3 152 198512 ; 198552 112 ; 552 39712 ; 39752 512 y x y x y x y x y x y x y x 2 993 y x 其中第二组和第四组都不是正整数解(舍) 例 8:某剧场共有座位1000 个,排成若干排,总排数大于16,从第二排起,每排比前一排多 一个座位,问:剧场共有多少排
11、座位? 解:设剧场共有x 排座位,第一排有n个座位,则第x排有座位)1(xn个,根据题意得 2 11000 1000 2 )1(x x nx xnn , nx, 均为正整数,所以x为奇数,且x是 1000 的正约数。1000,521000 33 的正奇约数只有5,25,125,5,16xx不 合题意,又当125x时,(54628n舍) 当25x时,28n,符合题意,答:剧场共有25 排座位。 例:一个正整数与13的和为 5 的倍数,与13的差是 6 的倍数,求满足条件的最小正整数是多 少? 解:由题意得 2 1 613 513 kx kx ( 21,k k是正整数),可得 5 1 5,6526
12、 2 2121 k kkkk, 要使x最小,则 2 k取最小值,当4 2 k时,10 1 k,此时37x 例:若ba,都是正整数,且,2001500143ba求ba的值。 解:由已知可得 143 71142 313 143 5002001b b b a,观察可得7, 2 ab,于是不定 方程的解为ttbta(1432,5007为整数),ba,是正整数, 01432,05007tt,得 143 2 500 7 t,知9,2,7,0babat 例:设m和n大于 0 的整数,且,22523nm若m和n最大公约数为15,则 _nm;若m和n的最小公倍数为45,则_nm 解: nm, 的最大公约数为15
13、,可令 212121 ,.(15,15kkkkknkm为正整数),由已知 得1523 ,225304523 2121 kkkknm的解为tktk36,21 21 ,而 21 kk且 21,k k为正整数,有036 ,021tt,知1,0t;当1t时3, 21 kk(舍去), 当0t时,6, 1 21 kk,此时mnmknkm,90,9015,1515 21 和n的最小 公倍数为45,可令ddnndmm(, 11 为正整数),由已知得53345 11n dm,由 22523nm得225)23( 11 nmd,于是有5 23 11 mn ,则只有1 1 n, ,45, 1 1 dm此时90,45n
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