【优质文档】导数及其应用教案.pdf
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1、学习必备欢迎下载 课题:变化率问题 教学目标: 1理解平均变化率的概念; 2了解平均变化率的几何意义; 3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点: 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点: 平均变化率的概念 教学过程: 一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的 研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研
2、究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一 般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的 快慢程度 二、知识探究 探究一:气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位 :L)与半径 r(单位 :dm)之间的函数关系是 3 3 4 )(rrV 如果将半径r 表示为体积V 的函数 ,那么 3 4 3 )( V Vr 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(62.0 01 )
3、0() 1( Ldm rr 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(16.0 12 ) 1()2( Ldm rr 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了 思考:当空气容量从V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少 ? 12 12 )()( VV VrVr 探究二:高台跳水: 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位: m)与起跳后的时间t(单位: s) 存在函数关系h(t)= - 4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速 v度粗略地描述 学习必备欢迎下载 其运动状态 ? 思考计算
4、:5.00t和21t的平均速度v 在5.00t这段时间里,)/(05. 4 05 .0 )0()5. 0( sm hh v; 在21t这段时间里,)/(2.8 12 ) 1()2( sm hh v 探究:计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 运动员在这段时间内使静止的吗? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数h(t)= - 4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, )0() 49 65 (hh,所以)/(0 0 49 65 )0() 49 65 ( ms hh v,虽然运动员在 49 65 0t这段时间里的 平均速度
5、为)/(0ms,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能 精确描述运动员的运动状态。 探究(三):平均变化率 1、平均变化率概念:上述问题中的变化率可用式子 12 12 )()( xx xfxf 表示 , 称为函数f(x)从 x1到 x2的平均变化率 2若设 12 xxx, 21 ()()yf xf x(这里x看作是对于x1的一个 “ 增量 ” 可用 x1+x代替 x2,同样)()( 12 xfxfyf) 则平均变化率为 y xx xfxxf xx xfxf)()()()( 11 12 12 思考:观察函数f(x)的图象:平均变化率 y x 12 12 )()( xx xf
6、xf 表示什么 ? 直线 AB 的斜率 h t o x2 x= x2-x1 y =f(x2)-f(x1) x y x1 O f(x1) f(x2) y=f(x) 学习必备欢迎下载 3、函数 f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率怎么表示? 00 ()()f xxf x x +-V V 三、典例分析 例 1 已知函数f(x)=xx 2 的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB, 则 x y 解:)1()1(2 2 xxy, x x xx x y 3 2)1()1( 2 例 2、求 2 xy在 0xx附近的平均变化率。 解: 2 0 2 0 )(xxxy,所以 x xxx x y
7、2 0 2 0 )( xx x xxxxx 0 2 0 2 0 2 0 2 2 所以 2 xy在 0 xx附近的平均变化率为xx02 例 3、求函数y5x2 6在区间 2,2 x内的平均变化率 例 4、某盏路灯距离地面高8m,一个身高 1.7m 的人从路灯的正底下出发,以 1.4m/s 的速 度匀速沿某直线离开路灯,求人影长度的平均变化率. 解:略 四课堂练习 1质点运动规律为3 2 ts,则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s附近的平均变化率. 3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P(1,1)和 Q (1+x,1+y)作曲
8、线的割线,求出当 x=0.1 时割 线的斜率 . 五回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六布置作业 课后记 : 253 t 1.7 8 学习必备欢迎下载 课题 :导数的概念 教学目标: 1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3会求函数在某点的导数 教学重点: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点: 导数的概念 教学过程 : 一、复习引入 1、函数平均变化率: 21 21 ()()f xf xy xxx 11 ()()fxxf x x 2、函数平均变化率的几何意义:表示曲线上两点连线(割线
9、)的斜率 3、 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高 台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的。 二、知识探究 1、引例:计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 运动员在这段时间内使静止的吗? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数h(t)= - 4.9t 2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, )0() 49 65 (hh,所以)/(0 0 49 65 )0() 49 65 ( ms hh v, 虽然运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度为)/(0ms,但实际情 况是运
10、动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 2、 瞬时速度: 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他 在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,2t时的瞬时速度是 多少?考察2t附近的情况: h t o 学习必备欢迎下载 、思考:当t趋近于 0 时,平均速度v有什么样的变化趋势? 、结论:当 t趋近于 0时,即无论t从小于 2的一边,还是从大于 2 的一边趋近于2 时, 平均速度v都趋近于一个确定的值13.1 、从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度, 因此,运动员在2t时的瞬时速度是1
11、3.1/m s 、为了表述方便,我们用 0 (2)(2) lim13.1 t hth t 表示“当2t,t趋近于 0 时, 平均速度v趋近于定值13.1” 、小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 3、导数的概念:函数y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是: 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 我们称它为函数( )yf x在 0 xx出的导数,记作 0 ()fx 或 0 |x x y, 即 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x 说明: (1)导数即为函数y=f(x
12、)在 x=x0处的瞬时变化率 (2) 0 xxx,当0x时, 0 xx,所以 0 0 0 0 ( )() ()lim x f xfx fx xx 4、一般地,求函数f(x) 在 xx0处的导数有哪几个基本步骤? 第一步,求函数值增量:y f(x x)f(x 0); 第二步,求平均变化率: 00 ()()f xxf x y xx +- = V V VV 第三步,取极限,求导数: 0 0 ()lim x y fx x ? = V V V 5、常见结论:(1) 0 0 0 0 ( )() lim() xx f xf x fx xx ? - = - (2) 00 0 0 ()() lim() x f
13、xxf x fx x ? - = - V V V (3) 00 0 0 (2)() lim2() x f xxf x fx x ? +- = V V V (4) 00 0 0 ()() lim() x f xmxf xm fx nxn ? +- = V V V 三、典例分析 例 1 (1)求函数y=3x2在 x=1 处的导数 . 分析: 先求 y=f( x)- f( )=6x+( x) 2 学习必备欢迎下载 再求6 y x x 再求 0 lim6 x f x 解: 法一(略) 法二: 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx
14、(2)求函数f(x)=xx 2 在1x附近的平均变化率,并求出在该点处的导数 解:x x xx x y 3 2)1()1( 2 2 00 ( 1)( 1)2 ( 1)limlim (3)3 xx yxx fx xx 例 2 (课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和 加热,如果第 xh时,原油的温度(单位: C o )为 2 ( )715(08)f xxxx,计算第 2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义 解:在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是 (2)f和 (6)f 根据导数定义, 0 (2)()fxf xf xx 22 (2)7
15、(2)15(27215) 3 xx x x 所以 00 (2)limlim(3)3 xx f fx x 同理可得 :(6)5f 在第2h时和第 6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和 5,说明在2h附近,原油温度大 约以3/Ch o 的速率下降,在第6h附近,原油温度大约以5/Ch o 的速率上升 注:一般地, 0 ()fx反映了原油温度在时刻 0 x附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为3 2 ts,求质点在3t的瞬时速度为 2求曲线y=f(x)=x3在1x 时的导数 3例 2 中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念
16、 2导数的概念 六布置作业 学习必备欢迎下载 课题:导数的几何意义 教学目标: 1了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2理解曲线的切线的概念; 3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点: 导数的几何意义 教学过程: 一复习引入 1、函数 f(x) 在 xx0处的导数的含义是什么? 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf x y fx xx +- = VV V V VV 2、求函数f(x)在 xx0处的导数有哪几个基本步骤? 3、导数 f (x0) 表示函数f(x)在 x x
17、0处的瞬时变化率,这是导数的代数意义,导数是否具 有某种几何意义,是一个需要探究的问题. 二知识探究 探究一:导数的几何意义 1、曲线的切线及切线的斜率:如图 3.1-2,当(,()(1,2,3, 4) nnn Pxf xn沿着曲线( )f x趋 近于点 00 (,()P xf x时,割线 n PP的变化趋势是什么? 我们发现 ,当点 n P沿着曲线无限接近点P 即 x0 时,割线 n PP趋近于确定的位置, 这个 确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的 切线 . 问题: 割线 n PP的斜率 n k与切线 PT 的斜率k有什么关系? 切线 PT 的斜率k为多少? 图 3.1-2 学习必备欢
18、迎下载 容易知道,割线 n PP的斜率是 0 0 ()() n n n f xf x k xx ,当点 n P沿着曲线无限接近点P 时, n k无 限趋近于切线PT 的斜率k,即 00 0 0 ()() lim() x f xxf x kfx x 说明: 、设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率 ,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在 0 xx处的导数 . 、曲线在某点处的切线: 、与该点的位置有关;、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此 点有切线 ,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无
19、切线;、曲线的切线,并不一定与曲线 只有一个交点 ,可以有多个 ,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点 00 (,()xf x处的切线的斜率, 即: 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 、求出 P 点的坐标 ; 、求出函数在点 0 x处的变化率 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x ,得到曲线在点 00 (,()xf x的切线的斜率; 、利用点斜式求切线方程. 探究二;导函数概念: 1、导函数定义: 由函数 f(x)在 x=x0处求导
20、数的过程可以看到 ,当 x=x0时, 0 ()fx是一个确定的数,那么, 当 x 变化时 ,便是 x 的一个函数 ,我们叫它为f(x)的导函数 .记作:( )fx或y, 即: 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fxy x 注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数 2、函数( )f x在点 0 x处的导数 0 ()fx、导函数( )fx、导数之间的区别与联系。 1) 函数在一点处的导数 0 ()fx, 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限, 它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数 f(x) 的导函数 3)函数( )f x在点
21、 0 x处的导数 0 ()fx就是导函数( )fx在 0 xx处的函数值,这也是求函 数在点 0 x处的导数的方法之一。 学习必备欢迎下载 三典例分析 例 1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程 . (2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数 . 解: (1) 222 1 00 (1)1(11)2 |limlim2 x xx xxx y xx , 所以, 所求切线的斜率为2, 因此, 所求的切线方程为22(1)yx即20xy ( 2)因为 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx 所以, 所求
22、切线的斜率为6, 因此, 所求的切线方程为36(1)yx即630xy 练习:求函数f(x)=xx 2 在1x附近的平均变化率,并求出在该点处的导数 解:x x xx x y 3 2)1()1( 2 2 00 ( 1)( 1)2 ( 1)limlim (3)3 xx yxx fx xx VV 例 2 (课本例2)如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间 变化的函数 2 ( )4.96.510h xxx,根据图像,请描述、 比较曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t附近的变化情况 解:我们用曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t处的切线, 刻画曲线( )h t在 上述三个时刻附
23、近的变化情况 (1)当 0 tt时,曲线( )h t在 0 t处的切线 0 l平行于x轴,所 以,在 0 tt附近曲线比较平坦,几乎没有升降 (2)当 1 tt时,曲线( )h t在 1 t处的切线 1 l的斜率 1 ( )0h t,所以,在 1 tt附近曲线下 降,即函数 2 ( )4.96.510h xxx在 1 tt附近单调递减 (3)当 2 tt时,曲线( )h t在 2 t处的切线 2 l的斜率 2 ( )0h t,所以, 在 2 tt附近曲线下 降,即函数 2 ( )4.96.510h xxx在 2 tt附近单调递减 学习必备欢迎下载 从图 3.1-3 可以看出,直线 1 l的倾斜
24、程度小于直线 2 l的倾斜程度,这说明曲线在 1 t附近比 在 2 t附近下降的缓慢 例 3 (课本例3)如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度( )cf t(单位:/mg mL)随时间 t(单位:min)变化的图象根据图像,估计0.2, 0.4, 0.6,0.8t时,血管中药物浓度 的瞬时变化率(精确到0.1) 解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度( )f t在此时刻的导数,从图 像上看,它表示曲线( )f t在此点处的切线的斜率 如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药 物浓度瞬时变化率的近似值 作0.8t处的切线,并在切线上
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