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1、精品资料欢迎下载 将军饮马与二次函数结合问题 一解答题(共4 小题) 1 (2013?宝应县校级一模)抛物线y= x 2+bx+c 与 x 轴交与 A (1,0) ,B( 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线与y 轴交于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 QAC 的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由 2 (2008?荔湾区一模)如图,抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A ( 1,0) , B(3,0)两点 (1)求 b、c 的值; (2)P为抛物线上的点,且满足SPAB=8,求 P点的坐标; (3)设抛物线交y 轴于
2、C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 QAC 的周长最 小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由 3 (2012?昌平区模拟)如图,已知抛物线经过点B( 2,3) ,原点 O和 x 轴上另一点A, 它的对称轴与x 轴交于点C(2, 0) (1)求此抛物线的函数关系式; (2)连接 CB ,在抛物线的对称轴上找一点E,使得 CB=CE ,求点 E的坐标; (3)在( 2)的条件下,连接BE ,设 BE的中点为G ,在抛物线的对称轴上是否存在点P , 使得 PBG的周长最小?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由 4 ( 2015 秋?怀集县期末)如图,抛物线y=ax 2+b
3、x+c 经过 A(1,0) 、B(4,0) 、C(0,3) 三点 精品资料欢迎下载 (1)求抛物线的解析式; (2)如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC 的周长最小?若存在,求 出四边形PAOC 周长的最小值;若不存在,请说明理由 精品资料欢迎下载 2016 年 09 月 14 日账号 17 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题(共4 小题) 1 (2013?宝应县校级一模)抛物线y= x 2+bx+c 与 x 轴交与 A (1,0) ,B( 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线与y 轴交于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,
4、使得 QAC 的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】(1)将点 A 、点 B的坐标代入可求出b、c 的值,继而可得出该抛物线的解析式; (2)连接 BC ,则 BC与对称轴的交点,即是点Q的位置,求出直线BC的解析式后,可得出 点 Q的坐标 【解答】 解( 1)把 A(1,0) 、B( 3,0)代入抛物线解析式可得:, 解得: 故抛物线的解析式为y=x 22x+3 (2)存在 由题意得,点B与点 A关于抛物线的对称轴对称,连接BC ,则 BC与抛物线对称轴的交点是 点 Q的位置, 精品资料欢迎下载 设直线 BC解析式为y=kx+b ,把 B( 3,0) 、C(0,3
5、)代入得:, 解得:, 则直线 BC的解析式为y=x+3, 令 QX=1 得 Qy=2, 故点 Q的坐标为:( 1,2) 【点评】 本题考查了二次函数的综合运用,涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称 求最短路径的知识,解答本题的关键是熟练各个知识点,注意培养自己解综合题的能力 2 (2008?荔湾区一模)如图,抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A ( 1,0) , B(3,0)两点 (1)求 b、c 的值; (2)P为抛物线上的点,且满足SPAB=8,求 P点的坐标; (3)设抛物线交y 轴于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 QAC 的周长最 小?若存在,求出Q
6、点的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】(1)抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A( 1, 0) ,B( 3,0) ,求得 b, c 值; (2)设点 P的坐标为( x, y) ,求得 y 值,分别代入从而求得点P的坐标;(3)由 AC 长为定值,要使QAC 的周长最小,只需QA+QC 最小又能求得由几何知识可知,Q是直线 BC与对称轴x=1 的交点,再求得BC的直线,从而求得点Q的坐标 【解答】 解: (1)抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A ( 1,0) ,B(3,0) , , 解之,得, 所求抛物线的解析式为:y=x 22x 3; (2)设点
7、 P的坐标为( x,y) ,由题意,得 SABC=4|y|=8 , |y|=4 , y=4, 当 y=4 时, x 22x3=4, x1=1+,x2=1, 当 y=4 时, x 22x 3=4, x=1, 精品资料欢迎下载 当 P点的坐标分别为、 (1, 4)时, SPAB=8; (3)在抛物线y=x 22x3 的对称轴上存在点 Q ,使得 QAC的周长最小 AC长为定值, 要使 QAC 的周长最小,只需QA+QC 最小 点 A关于对称轴x=1 的对称点是B( 3,0) , 由几何知识可知,Q是直线 BC与对称轴x=1 的交点, 抛物线 y=x 22x 3 与 y 轴交点 C的坐标为( 0,
8、3) ,设直线 BC的解析式为y=kx3 直线 BC过点 B(3,0) , 3k3=0, k=1 直线 BC的解析式为y=x3, 当 x=1 时, y= 2 点 Q的坐标为( 1, 2) 【点评】 本题考查了二次函数的综合运用,(1)抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A( 1,0) ,B(3,0) ,很容易得到b,c 值; (2)设点 P的坐标为( x, y) ,求得 y 值,分 别代入从而求得点P的坐标;(3)由 AC长为定值,要使QAC的周长最小,只需QA+QC 最 小又能求得由几何知识可知,Q是直线 BC与对称轴x=1 的交点,再求得BC的直线,从而 求得点 Q的
9、坐标本题有一定难度,需要考虑仔细,否则漏解 3 (2012?昌平区模拟)如图,已知抛物线经过点B( 2,3) ,原点 O和 x 轴上另一点A, 它的对称轴与x 轴交于点C(2, 0) (1)求此抛物线的函数关系式; (2)连接 CB ,在抛物线的对称轴上找一点E,使得 CB=CE ,求点 E的坐标; (3)在( 2)的条件下,连接BE ,设 BE的中点为G ,在抛物线的对称轴上是否存在点P , 使得 PBG的周长最小?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由 【分析】(1)根据抛物线的对称轴可得出A点坐标,然后根据O、A、B三点坐标,用待定系 数法可求出抛物线的解析式 精品资料欢迎下载 (2
10、)可根据B、 C的坐标,求出BC的长,然后根据CB=CE ,将 C点坐标向上或向下平移BC 个单位即可得出E点坐标 (3)本题的关键是确定P点的位置,可取B关于抛物线对称轴的对称点D,连接 DG ,直线 DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置可先求出直线DG的解析式,然后联立抛物 线对称轴方程即可求出P点坐标 【解答】 解: (1)由题意知:A(4,0) ; 设抛物线的解析式为y=ax(x4) ,已知抛物线过B( 2,3) ;则有: 3=ax( 2)( 24) , a= 抛物线的解析式为:y=x 2x; (2)过点 B作 BM MC , B点坐标为:( 2,3) ,C点坐标为:(2,0)
11、, MC=4 ,BM=3 , BC=5, |CE|=5 , E1( 2,5) , E2( 2, 5) ; (3)存在 当 E1(2, 5)时, G1(0,4) ,设点 B关于直线x=2 的对称点为D, 其坐标为( 6,3) 直线 DG1的解析式为:y=x+4, P1( 2,) 当 E2(2, 5)时, G2(0, 1) ,直线 DG2的解析式为: y=x1 P2( 2,) 综合、存在这样的点P,使得 PBG的周长最小,且点P的坐标为( 2,) 或( 2,) 精品资料欢迎下载 【点评】 本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、 轴对称图形的性质等知识, (3)中能正确找出P点位置是解题
12、的关键 4 ( 2015 秋?怀集县期末)如图,抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A(1,0) 、B(4,0) 、C(0,3) 三点 (1)求抛物线的解析式; (2)如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC 的周长最小?若存在,求 出四边形PAOC 周长的最小值;若不存在,请说明理由 【分析】(1)设交点式为y=a(x 1) (x 4) ,然后把 C点坐标代入求出a=,于是得到抛 物线解析式为y=x 2 x+3; (2)先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结 BC交直线 x=于点 P,如图,利用对称性 得到 PA=PB ,所以 PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段最短
13、得到PC+PA 最短, 于是可判断此 时四边形PAOC 的周长最小,然后计算出BC=5 ,再计算OC+OA+BC 即可 【解答】 解: (1)设抛物线解析式为y=a(x 1) (x 4) , 把 C(0,3)代入得a?( 1)?( 4)=3,解得 a=, 所以抛物线解析式为y=(x1) (x4) ,即 y=x 2 x+3; (2)存在 精品资料欢迎下载 因为 A( 1,0) 、 B(4,0) , 所以抛物线的对称轴为直线x=, 连结 BC交直线 x=于点 P,如图,则PA=PB ,PA+PC=PC+PB=BC,此时 PC+PA 最短, 所以此时四边形PAOC 的周长最小, 因为 BC=5, 所
14、以四边形PAOC 周长的最小值为3+1+5=9 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式 时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解一般地,当 已知抛物线上三点时,常选择一般式, 用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物 线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x 轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题 将军饮马模型及其变形 一解答题(共2 小题) 1 (2015?上城区一模)设抛物线y=(x+1) ( x2)与 x 轴交于 A、C两点(点A在点 C 的左边),与 y
15、轴交于点B (1)求 A 、B、C三点的坐标; (2)已知点D在坐标平面内, ABD 是顶角为 120的等腰三角形,求点D的坐标; (3)若点 P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP 周长的最小值 精品资料欢迎下载 2 (2015?贵阳)如图,在矩形纸片ABCD 中, AB=4 ,AD=12 ,将矩形纸片折叠,使点C落在 AD边上的点M处,折痕为PE ,此时 PD=3 (1)求 MP的值; (2)在 AB边上有一个动点F,且不与点 A,B重合当 AF等于多少时, MEF的周长最小? (3)若点 G ,Q是 AB边上的两个动点,且不与点A,B重合, GQ=2 当四边形MEQG 的
16、周长 最小时,求最小周长值(计算结果保留根号) 精品资料欢迎下载 2016 年 05 月 18 日账号 17 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题(共2 小题) 1 (2015?上城区一模)设抛物线y=(x+1) ( x2)与 x 轴交于 A、C两点(点A在点 C 的左边),与 y 轴交于点B (1)求 A 、B、C三点的坐标; (2)已知点D在坐标平面内, ABD 是顶角为 120的等腰三角形,求点D的坐标; (3)若点 P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP 周长的最小值 【考点】 二次函数综合题 【分析】(1)令 x=0,求出与y 轴的坐标;令y=0,求出与x 轴
17、的坐标; (2)分三种情况讨论:当AB为底时,若点D在 AB上方;若点D在 AB下方;当AB为 腰时, A为顶点时,当AB为腰时, A为顶点时;仔细解答即可 (3)当 AP+BQ 最小时,四边形ABQP的周长最小,根据轴对称最短路径问题解答 【解答】 解: (1)当 x=0 时, y=; 当 y=0 时, x=1 或 x=2; 则 A( 1,0) , B(0,) , C(2,0) ; (2)如图, RtABO 中, OA=1 , OB=, AB=2 ,ABO=30 , BAO=60 , ABD是顶角为120的等腰三角形 当 AB为底时,若点D在 AB上方,由 ABO= BAD=30 ,AB=2
18、 ,得 D1(0,) , 若点 D在 AB下方,由 BAD= DBA=30 ,AB=2 ,得 D2( 1,) , 当 AB为腰时, A为顶点时, DAB=120 , OAB=60 ,AD=AB=2 , 点 D在 y 轴或 x 轴上, 若 D在 y 轴上,得D3(0,) ,若 D在 x 轴上,得D4( 3,0) ; 当 AB为腰时, A为顶点时, 若点 D在第三象限, DBO=150 , BD=2 ,得 D5( 1, 2) ; 若点 D在第四象限时, DB x轴, BD=2 ,得 D6(2,) , 精品资料欢迎下载 符合要求的点D的坐标为( 0,) , ( 1,) , ( 0,) , ( 3,0
19、) , ( 1, 2) , (2,) ; (3)当 AP+BQ 最小时,四边形ABQP的周长最小, 把点 B向上平移个单位后得到B1(0,) , BB1PQ ,且 BB1=PQ , 四边形BB1PQ是平行四边形, BQ=B1P, AP+BQ=AP+B 1P , 要在直线x= 上找一点P,使得 AP+B 1P最小, 作点 B1关于直线x=的对称点,得B2(1,) , 则 AB2就是 AP+BQ 的最小值, AB2=, AB=2 ,PQ=, 四边形ABQP 的周长最小值是+2 【点评】 本题考查了二次函数综合题,涉及二次函数与x 轴的交点、与y 轴的交点、等腰三 角形的性质、勾股定理等内容,存在性
20、问题的出现使得难度增大 2 (2015?贵阳)如图,在矩形纸片ABCD 中, AB=4 ,AD=12 ,将矩形纸片折叠,使点C落在 AD边上的点M处,折痕为PE ,此时 PD=3 (1)求 MP的值; (2)在 AB边上有一个动点F,且不与点 A,B重合当 AF等于多少时, MEF的周长最小? (3)若点 G ,Q是 AB边上的两个动点,且不与点A,B重合, GQ=2 当四边形MEQG 的周长 最小时,求最小周长值(计算结果保留根号) 精品资料欢迎下载 【考点】 几何变换综合题 【专题】 综合题;压轴题 【分析】(1)根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3 ,CD=MH=4 ,H= D=9
21、0 ,然后利 用勾股定理可计算出MP=5 ; (2)如图 1,作点 M关于 AB的对称点M ,连接M E 交 AB于点 F,利用两点之间线段最 短可得点F即为所求,过点E作 EN AD , 垂足为 N,则 AM=AD MP PD=4 ,所以 AM=AM=4, 再证明 ME=MP=5 , 接着利用勾股定理计算出MN=3 , 所以 NM =11, 然后证明 AFM NEM , 则可利用相似比计算出AF; (3)如图 2,由( 2)知点 M 是点 M关于 AB的对称点,在EN上截取 ER=2 ,连接 M R 交 AB于点 G,再过点 E作 EQ RG ,交 AB于点 Q,易得 QE=GR ,而 GM
22、=GM,于是MG+QE=MR, 利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ 最小,于是四边形MEQG 的周长最小,在RtM RN 中,利用勾股定理计算出M R=5,易得四边形MEQG 的最小周长值是7+5 【解答】 解: (1)四边形ABCD 为矩形, CD=AB=4 ,D=90 , 矩形 ABCD 折叠,使点C落在 AD边上的点 M处,折痕为PE , PD=PH=3 , CD=MH=4 ,H= D=90 , MP=5; (2)如图 1,作点 M关于 AB的对称点M ,连接M E 交 AB于点 F,则点 F即为所求,过 点 E作 EN AD ,垂足为N, AM=AD MP PD=12 5 3=4,
23、 AM=AM=4, 矩形 ABCD 折叠,使点C落在 AD边上的点 M处,折痕为PE , CEP= MEP , 而CEP= MPE , MEP= MPE , ME=MP=5, 在 RtENM中, MN=3, NM =11, AF NE , AFM NEM , =,即=,解得 AF=, 即 AF=时, MEF的周长最小; (3)如图 2,由( 2)知点 M 是点 M关于 AB的对称点,在EN上截取 ER=2 ,连接 M R 交 AB于点 G,再过点E作 EQ RG ,交 AB于点 Q, ER=GQ,ER GQ , 四边形ERGQ 是平行四边形, QE=GR, GM=GM, 精品资料欢迎下载 MG+QE=GM+GR=MR,此时MG+EQ 最小,四边形MEQG 的周长最小, 在 RtM RN中, NR=4 2=2, M R=5, ME=5 , GQ=2 , 四边形MEQG 的最小周长值是7+5 【点评】 本题考查了几何变换综合题:熟练掌握折叠的性质和矩形的性质;会利用轴对称解 决最短路径问题;会运用相似比和勾股定理计算线段的长
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