【优质文档】常微分方程期中考试题.pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 0)( 22 xy dx dy dx dy n 的阶数是 _ 2 若 ),(yxM 和 ),(yxN 在矩形区域R内是 ),(yx 的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数, 则 方 程 0),(),(dyyxNdxyxM 有 只 与 y 有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _ 3 _ 称为齐次方程 . 4 如果 ),(yxf _ , 则 ),(yxf dx dy 存在唯 一的解 )(xy , 定义于区间 hxx 0 上, 连续且满足初始条件 )( 00 xy , 其中 h _ . 5 对 于 任 意 的
2、),( 1 yx , ),( 2 yx R (R为 某 一 矩 形 区 域 ), 若 存 在 常 数 )0(NN 使 _ , 则称 ),(yxf 在R上关于 y 满足利普希兹条件. 6 方程 22 yx dx dy 定义在矩形区域R: 22,22yx 上 , 则经过点 )0 ,0( 的解 的存在区间是 _ 7 若 ),.2, 1)(nitxi 是齐次线性方程的n个解 , )(tw 为其伏朗斯基行列式, 则 )(tw 满足 一阶线性方程 _ 8若 ),.2, 1)(nitxi 为齐次线性方程的一个基本解组, )(tx 为非齐次线性方程的 一个特解 ,则非齐次线性方程的所有解可表为 _ 9若 )(
3、x 为毕卡逼近序列 )(x n 的极限,则有 )()(xx n _ 10 _ 称为黎卡提方程,若它有一个特解 )(xy ,则经过变换_ ,可化为伯努利方程 二求下列方程的解 3 yx y dx dy 求方程 2 yx dx dy 经过 )0, 0( 的第三次近似解 讨论方程 2 y dx dy , 1)1(y 的解的存在区间 4 求方程 01)( 22 y dx dy 的奇解 优秀学习资料欢迎下载 5 0) 1 () 1 (cos 2 dy y x y dx y x 6 xxxyyy 22 sincossin2 7 0)37()32( 232 dyxydxyxy 三 证明题 1 试证 : 若已
4、知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解 2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程 )()(xQyxP dx dy , 当 )(xP , )(xQ 在 , 上连续时 , 其解存在唯一 参考答案 一 填空题 11 2 )() 1 )(y Mx N y M 3 形如 )( x y g dx dy 的方程 4 在R上连续且关于 y 满足利普希兹条件 ),min( m b ah 5 2121 ),(),(yyNyxfyxf 6 4 1 4 1 x 7 0)( 1 wtaw 8 xxcx n i ii 1 9 1 )!1( n n h n ML 10 形如 )()()( 2
5、 xryxqyxp dx dy 的方程 yzy 二 求下列方程的解 1 解: 2 3 y y x y yx dy dx , 则 )( 1 2 1 cdyeyex dy y dy y 所以 cy y x 2 3 另外 0y 也是方程的解 2 解: 0)( 0 x 2 0 2 01 2 1 )()(xdxxxx x 优秀学习资料欢迎下载 52 0 2 12 20 1 2 1 )()(xxdxxxx x 81152 0 2 23 160 1 4400 1 20 1 2 1 )()(xxxxdxxxx x 3 解: dx y dy 2 两边积分 cx y 1 所以方程的通解为 cx y 1 故过 1)
6、1 (y 的解为 2 1 x y 通过点 )1 , 1( 的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到, 所以解的存在区间为 )2,( 4 解: 利用 p 判别曲线得 02 01 22 p yp 消去 p 得 1 2 y 即 1y 所以方程的通解为 )sin(cxy , 所以 1y 是方程的奇解 5 解: y M = 2 y , x N = 2 y , y M = x N , 所以方程是恰当方程. 2 1 1 cos y x yy v y x x u 得 )(siny y x xu )( 2 yxy y u 所以 yyln)( 故原方程的解为 cy y x xlnsin 6 解: xxxyyy 22
7、sincossin2 故方程为黎卡提方程. 它的一个特解为 xysin , 令 xzysin , 则方程可化为 2 z dx dz , cx z 1 即 cx xy 1 sin , 故 cx xy 1 sin 7 解: 两边同除以 2 y 得 03 7 32 2 xdydy y ydxxdx 0 7 3 2 y dxyddx 优秀学习资料欢迎下载 所以 c y xyx 7 3 2 , 另外 0y 也是方程的解 三证明题 1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为 yy 令 yzy , dx yd dx dz dx dy 又 )()()( 2 xryxqyxp dx dy dx yd xryzxqy
8、zxp dx dz )()()( 2 由假设 )()()( 2 xryxqyxp dx yd 得 zxqyxpzxp dx dz )()(2)( 2 此方程是一个 2n 的伯努利方程, 可用初等积分法求解 2 证明 : 令R: x , , Ry )(xP , )(xQ 在 , 上连续 , 则 )()(),(xQyxPyxf 显然在R上连续 , 因为 )(xP 为 , 上的连续函数 , 故 )(xP 在 , 上也连续且存在最大植 , 记为 L 即 )(xP L , x , 1 y , Ry22121 )()(),(),(yxPyxPyxfyxf = )(xP 21 yy 21 yyL 因此一阶线
9、性方程当 )(xP , )(xQ 在 , 上连续时 , 其解存在唯一 优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中测试卷(2) 1辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1) 22 d d xy x y (2) yxx x y sin d d (3) 0 d d d d 2 d d 2 2 3 3 4 4 x y x y x y (4) txxxx (5) 2 2 3 d d 1) d d ( s r s r (6) 0dd 22 xyyx 2、填空题 (8%) (1) 方程 yx x y tan d d 的所有常数解是_. (2) 若y=y1(x) ,y=y2(x) 是一阶线性非齐
10、次方程的两个不同解,则用这两个解可把 其通解表示为 _. ( 3) . 若 方 程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 是 全 微 分 方 程 , 同 它 的 通 积 分 是 _. (4). 设M(x0, y 0) 是可微曲线y= y(x) 上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上 的截距分别是 _. 3、单选题 (14%) (1) 方程 0d)ln(dlnyyxxyy 是(). (A) 可分离变量方程(B)线性方程 (C) 全微分方程(D)贝努利方程 (2) 方程 )0( d d yy x y ,过点( 0, 0)有(). (A) 一个解( B)两个解 (C) 无数个解( D)三
11、个解 (3) 方程x(y 21)d x+y(x 21)d y=0 的所有常数解是(). (A)y= 1, x=1, (B) y=1 (C) x=1 (D) y=1, x=1 (4) 若函数y(x)满足方程 0ln 2 xyyyx ,且在x=1 时,y=1, 则在x = e 时 y=( ). (A) e 1 (B) 2 1 (C)2 (D) e (5) n阶线性齐次方程的所有解构成一个()线性空间 (A)n维(B) 1n 维(C) 1n 维(D) 2n 维 (6). 方程 2 d d yx x y ()奇解 (A)有三个( B)无(C)有一个(D) 有两个 (7) 方程 3 2 3 d d y
12、x y 过点 )0,0( () (A)有无数个解(B)只有三个解 (C)只有解 0y ( D)只有两个解 4. 计算题 (40%) 优秀学习资料欢迎下载 求下列方程的通解或通积分: (1). 2 1d d x xy x y (2). x y x y 2 e3 d d (3) . 0)d(d)( 3223 yyyxxxyx (4). 2 )( d d x y x y x y (5) . 1)ln(yxy 5. 计算题 (10%) 求方程 xyy5sin5 的通解 6证明题( 16% ) 设 ),(yxf 在整个 xoy 平面上连续可微,且 0),( 0 yxf 求证:方程 ),( d d yxf
13、 x y 的非常数解 )(xyy ,当 0 xx 时,有 0 )(yxy ,那么 0 x 必为或 参考答案: 1辨别题 ( 1)一阶,非线性(2)一阶,非线性(3)四阶,线性 ( 4)三阶,非线性(5)二阶,非线性(6)一阶,非线性 2填空题 (1) ,2, 1,0,kky (2) )()()( 1211 xyxyxyC (3) y y x x yyxNxyxM 00 0d),(d),( 0 (4) yxy y y x 00 0 0 , 3单选题 (1) B (2) C (3) A (4) B (5). A (6) . B 7. A 4. 计算题 (1) 解当 0y 时,分离变量得 x x x
14、 y y d 1 d 2 等式两端积分得 Cxyln)1ln( 2 1 ln 2 即通解为 2 1xCy (2) 解齐次方程的通解为 x Cy 3 e 令非齐次方程的特解为 x xCy 3 e)( 代入原方程,确定出 CxC x5 e 5 1 )( 优秀学习资料欢迎下载 原方程的通解为 x Cy 3 e + x2 e 5 1 (3) 解由于 x N xy y M 2 ,所以原方程是全微分方程 取 )0, 0(),( 00 yx ,原方程的通积分为 1 0 3 0 23 dd)(Cyyxxyx yx 即 Cyyxx 4224 2 (4). 令 xuy ,则 x u xuy d d ,代入原方程,
15、得 2 d d uu x u xu , 2 d d u x u x 当 0u 时,分离变量,再积分,得 C x x u udd 2 Cx u ln 1 , Cx u ln 1 即: Cx x y ln 5. 计算题 令 py ,则原方程的参数形式为 py p p xln 1 由基本关系式 y x y d d ,有 p pp pxyy)d 11 (dd 2 p p )d 1 1 ( 积分得 Cppyln 得原方程参数形式通解为 Cppy p p x ln ln 1 5计算题 解方程的特征根为 0 1 , 5 2 齐次方程的通解为 x CCy 5 21 e 因为 ii5 不是特征根。所以,设非齐次
16、方程的特解为 优秀学习资料欢迎下载 xBxAxy5cos5sin)( 1 代入原方程,比较系数得 02525 12525 BA BA 确定出 50 1 A , 50 1 B 原方程的通解为 )5sin5(cos 50 1 e 5 21 xxCCy x 6 . 证明题 证明由已知条件,方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件,因 此,它的任一解都可延展到平面的无穷远。(2 分) 又由已知条件,知 0 yy 是方程的一个解。(4 分) 假如方程的非常数解 )(xyy 对有限值 0 x 有 0 )(lim 0 yxy xx ,那么由已知条件,该解 在点 ),( 00 yx 处可向
17、 0 x 的右侧(或左侧) 延展这样,过点 ),( 00 yx 就有两个不同解 0 yy 和 )(xyy 这与解的唯一性矛盾,因此 0 x 不能是有限值 优秀学习资料欢迎下载 常微分方程期中测试卷 (3) 一、填空 1. 形如 _称为变量可分离方程,它有积分因子。 2. 当 _时,方程 0,dyyxNdxyxM 称为恰当方程,或全微分方 程。且它只含x的积分因子的充要条件是_。有只含 y 的积分因子的充要条件是 _。 3. _称为伯努利方程,它有积分因子 _ 。 4. 方程 , 222 111 xcxbxa xcxbxa dx dy 当 0 11 11 dc ba 时,通过 _,可化为奇次方程
18、; 当 0 11 11 dc ba 时,令u_ ,化为变量分离方程。 5. _ 称 为 黎 卡 提 方 程 , 若 它 有 一 个 特 解 xy , 则 经 过 变 换 _,可化为伯努利方程。 6. 函数 yxf, 称为在矩形域R 上关于 y 满足利普希兹条件,如果存在常数L0, 使 Ryxyx 21 , ,使不等式 _。 7. 如果 yxf, _,则 yxf dx dy , 存在唯一解 ,xy 定义 于区间 hxx 0 上,连续且满足初始条件 , 00 xy 其中 h _。 8. 设 xy 是 方 程 yxf dx dy , 的 定 义 于 区 间 hxxx 00 上 , 满 足 初 始 条
19、 件 , 00 xy 的解,则 xy 是积分方程 _ 的定义于 hxxx 00 上的连续解 9. 微分方程的某一个解称为奇解,如果 _, 也就是说奇解是这 样的一个解,在它上面的每一点唯一性都不成立。 10. 方程 x dx dy ln1 满足条件 01y 的解的存在区间是_。 二、求解下列方程的通解 1、 3 1 1 2 x x y dx dy 2、 dxxyxydy 2 22 3、 01xdydxxyy 4、 22 21yyy 5、 042 2 x dx dy y dx dy x 优秀学习资料欢迎下载 6、 2 6xy x y dx dy 三、计算 求初值问题 1, 11: 01 22 y
20、xR y yx dx dy 四、证明 1、 假设方程 0,dyyxNdxyxM 中函数 yxM, , yxN,y M - x N = yMgxNf ,其中 f(x) ,g(y) 分别为 yx, 的连续函数,试证: 此方程有积分因子e dyygdxxf)()( 答案 一、 填空 1、 yxf dx dy 的方程 y 1 2、 x yxN y yxM, x N x yxN y yxM, y M x yxN y yxM, 3、 n yxqyxp dx dy dxxpn n e y u 1 1 4、坐标平移 ybxa 11 5、 xryxqyxp dx dy 2 zxyy 6、 2121 ,yyLyx
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