【优质文档】概率在证明不等式中的应用.pdf
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1、学习必备欢迎下载 概率在证明不等式中的应用 不等式的证明方法很多,不仅可以用高等数学的方法证明,而且也可以用初 等数学的方法证明, 技巧十分灵活多变, 当然也有不少问题需要几种方法综合使 用才能解决。 作为研究随机现象数学领域中的一个重要分支,概率论与数学各个 分支之间有着十分广泛的联系, 通过对不等式的探讨他们之间的联系具有十分重 要的意义。 概率论与不等式融会贯通、 互为所用, 如何利用根据不同的数学问题 建立相应的随机概率模型是概率论方法证明不等式的关键,然后运用概率、 函数 之间的相关性质给出问题的结果。 下面对不等式证明中的各种概率论方法进行进一步研究: 1. 运用概率论的性质证明不
2、等式 1.1 运用随机变量的数字特征证明其不等式 定理设 X是一只取有限个值的离散型随机变量,其分布列为 PX= k x= i p, k=1,2,n, 则 2 E (X) E( 2 X ), 当且仅当 1 x = 2 x = n x=E(X)时,等式成立 . 证由 E( 2 X )- 2 E (X) = D(X) = ( ) 2 i xEX 轾 - 臌 0 即得证 . 下面简举几例应用在数学方面, 如下: 题 1求证 ( ) ( ) ( ) 222222 6a bcb cac ababc+, 其中, ,a b cR + ?,且, ,a b c全不相等 证 () () () 222222 6a
3、bcb cac ababc+ ?6 bccaab abc + + 假设随机变量 X的分布列为 , sasbsc PXP XPX asbscs 轾轾轾 =犏犏犏 犏犏犏 臌臌臌 其中,sabc=+ 则有, 学习必备欢迎下载 ()3. s as bs c E X a sb sc s =+= 222 2 () sasbsc E X asbscs 轾轾轾 =+犏犏犏 犏犏犏 臌臌臌 sssbccaab abcabc + =+=+3 最后由引理 2 E (X) E( 2 X ) 即可得 () () () 222222 6a bcb cac ababc+. 题 2 求证 3 2 abc bccaab +?
4、 + 其中, ,a b c, 为正数 . 证设随机变量 X的分布列为 , 22 sbcscas P XPXP X bcscasab 轾轾轾 + =犏犏犏 犏犏犏+ 臌臌臌 = 2 ab s + , 其中 sabc=+,由引理 2 E (X) E( 2 X ) E ( ) X= 222 sbcscasab bcscasabs + + + = 3 2 E( 2 X )= 222 222 sbcscasab bcscasabs 骣骣骣 + 琪琪琪+ 琪琪琪 +桫桫桫 222 222 sbcscasab bcscasabs 骣骣骣 + 琪琪琪+ 琪琪琪 +桫桫桫 3 9 4 进而 3 2 abc bc
5、caab +? + 得证。 题 3求证 () () 444222222 abca bb cc aabc abc+?+?+(*) 其中, ,a b c为正数 . 证若设随机变量 X的分布列为 222222 ,. ca bab cbc a PXPXPX bhchah 轾轾轾 =犏犏犏 犏犏犏 臌臌臌 (其中 222222 ,ha bb cc a=+) 学习必备欢迎下载 由引理 2 E (X) E( 2 X ) 即可得 () 222222 a bb cc aabc abc+?+不等式 设随机变量 X的分布列为 242424 222 ,. acbacb P XP XP X csasbs 骣轾轾 琪犏犏
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