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1、学习必备欢迎下载 第一章空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 常见的 多面体 有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体 有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 棱柱 :有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱 柱。 棱台: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为
2、几何体的 三视图 。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”, “高平齐”, “宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: 建立适当直角坐标系xOy(尽可能使更多的点在坐标轴上) 建立斜坐标系 xO y,使 xO y=45 0(或 1350) ,注意它们确定的平面表示水平平面; 画对应图形 ,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线 段,在直观图中画成平行于Y 轴,且长度变为原来的一半; 一般地,原图的面积是其直观图面积的22倍,即2 2SS
3、 原图直观 4、空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积 ;lrS2 侧面 圆锥侧面积:lrS侧面 圆台侧面积:()SrR l 侧面 体积公式: hSV柱体 ;hSV 3 1 锥体 ; 1 3 Vh SSSS 下下台体上上 球的表面积和体积: 32 3 4 4RVRS球球 ,. 一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。 O2 O1 h l r R 学习必备欢迎下载 第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证 1 、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 , , Al Bl l AB 公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 2、公理 2:过不在一条直线上的三
4、点,有且只有一个平面。 若 A,B,C 不共线,则 A,B,C确定平面 推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面 若Al,则点 A和l确定平面 推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面 若mnA,则 ,m n确定平面 推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面 若mn,则 ,m n确定平面 公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ,PPlPl且 公理 3 作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。 l B A B A C l A l m A m n
5、P L 学习必备欢迎下载 4、公理 4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.,ab cbac 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 ,1212aa bb且 与方向相同 ,1212 180aa b b且 与方向相反 作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。,ababAa b异面 (1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交 aa aA 8、面面位置关系:平行、相交。 9、证明两直线平
6、行的主要方法是: 三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; 平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; 线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行; / /a a b 平行线的传递性 :,ab cbac 面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行; a b b a b a 方向相反则 1+ 2 180 方向相同则 1 2 2 1 2 1 a b (1) a (2) a (3) a A b a A / /ab 学习必备欢迎下载 aab b 垂直于同一平面的两直线平行; a ab b 直线与平面
7、平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行; (上面的) 10、线面平行: (即直线与平面无任何公共点) 判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以) / / a ba ab (2)性质:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行; a a 11、面面平行: (即两平面无任何公共点) (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 , , ab abA ab (2)面面平行性质:平行于同一平面的两平面平行; 学习必备欢迎
8、下载 (3)面面平行 性质:垂直于同一直线的两平面平行 l l 另外性质:夹在两平行平面间的平行线段相等; , , A C ACBD B D ABCD 11、线线垂直: 证明两直线垂直和主要方法: 利用勾股定理证明两相交直线垂直; 利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; 利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直); (4)线面垂直性质: ml m l 利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“ 线影垂” , “线斜垂”) 11、线面垂直: 定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
9、则该直线与此平面垂直。 a 斜 影 线 P O A , POOAPA aPA aaOA 图 线 线线 如:是在平面上的射影 又直且 即:影垂直斜垂直,反之也成立。 学习必备欢迎下载 , lm ln l mnA m n 性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直 线 垂 直 于 另 一 个平面。 12、面面垂直: 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。 l l (只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直) 转化思想 面面平行线面平行线线平行 面面垂直线面垂直线线垂直 空间角及空间
10、距离的计算 一、异面直线所成的角 m l l lm 学习必备欢迎下载 1.异面直线所成角: 使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取一 点,过该点作另一条直线平行线, 2、求法:平移直线法(一作,二说,三求余弦定理) 二、斜线与平面成成的角 1. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图: PA是平面的一条斜线, A 为斜足, O为垂足, OA叫 斜线 PA在平面上射影, PAO为线面角 。 2、范围: 2 ,0 3、求法:定义法(一作,二说,三求解直角三角形) 三、二面角 1. 二面角: 从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角l,二面角的大小指的
11、是二面角的平面角的 大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 范围:,0 2、求法: (1)定义法 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是: 确构成二面角两个半平面和棱;明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找”、 “二证”、 “三计算”) (2) 、三垂线定理法:条件:从一个面到另一个面有垂线 (3)公式法: 5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 - -, lOAOB lOAl OBlAOB 如图:在二面角中, O棱上一点, 的平面角。 且则为二面角 ab 如图:直线a与b异面,b/b ,直线a与直线b 的夹角为两异 面直线 与 所成的角,异面直线所成角取值范围是(0 ,90 学习必备欢迎下载 如图: O为 P在平面上的射影, 线段 OP 的长度为点P 到平面的距离求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC 中有: S ABCA SBCBSACCSAB VVVV
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