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1、精品资料欢迎下载 第十七章反比例函数 第 1 节 反比例函数 本节内容: 1、 反比例函数定义反比例函数定义的应用(重点) 函数: 在某变化过程中有两个变量x,y.若给定其中一个变量x 的值,y 都有唯一确定的值与它对应, 则称 y 是 x 的函数 . 1、反比例函数的定义 一般地,如果两个变量x、y 之间的关系可以表示成 x k yk(为常数,)0k的形式,那么称 y 是 x的反比例函数。其中x 是自变量, y 是函数 .自变量x的取值范围是不等于0 的一切实数。 注: (1) x k y也可以写成 1 kxy或kxy的形式; (2) x k y若是反比例函数,则x、 y 、k 均不为零;
2、(3)kxy)0(k通常表示以原点及点yx,为对角线顶点的矩形的面积; (4)因变量 y 的取值范围是 y0的一切实数。 例 1:下列函数中是反比例关系的有(填序号)。 3 x y1 3 1 x y x y 2 2 2 1 1xy x y 2 3 2 1 xy 2 8 x y1xy2 x y x k yk(为常数,)0k 例 2:当 m 取什么值时,函数是反比例函数? 2、 反比例函数定义的应用(重点) 确定解析式的方法仍是待定系数法,由于在反比例函数 x k y中,只有一个待定系数,因此只需 要一对对应值,即可求出k 的值,从而确定其解析式。 例 3 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I
3、与电阻 R 成反比例,已知电压不变,电阻R=12.5 欧姆,电流强度 I=0.2 安培。 (1) 求 I 与 R的函数关系式; (2) 当 R=5 欧姆时,求电流强度。 例 4:已知函数 yy1y2,y1与 x 成正比例, y2与 x 成反比例,且当 x1 时,y4;当 x2 时, y5 (3) 求 y 与 x 的函数关系式 (4) 当 x2 时,求函数 y 的值 第 2 节反比例函数的图象与性质 本节内容: 反比例函数的图象及其画法反比例函数的性质(重点) 精品资料欢迎下载 反比例函数 x k y)0(k中的比例系数 k的几何意义(难点)反比例函数与正比例函数图象的交点 1、 反比例函数的图
4、象及其画法 反比例函数图象的画法 描点法: (1) 列表自变量取值应以 0(但(x0 )为中心,向两边取三对(或三对以上)互为相反数的数, 再求出对应的 y的值; (2) 描点先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找; (3) 连线按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有 逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交。 注:(1) 画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x0 ,因此不能把两个分支连接起来; (2) 由于在反比例函数中, x 和 y 的值都不能为 0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出 无限的接近坐标轴,但永远不能达到x 轴和 y 轴的变
5、化趋势。 反比例函数 x k y的图象是由两支曲线组成的。当0k时,x、y 同号,两支曲线分别位于第一、 三象限内,当0k时,x、y 异号,两支曲线分别位于第二、四象限内。 注: (1)这两支曲线通常称为双曲线。 (2)这两支曲线关于原点对称。 (3)反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。 例 1:画出反比例函数 x y 6 与 x y 6 的图象。 解: (1)列表: (2)描点:(3)连线。 2、 反比例函数的图像与性质 反比例函数 x k y)0(k k 的符号k 0 k0 图象 (双曲线) x、y 取值范围 x 的取值范围 x0 y 的取值范围 y0 x 的取值范围 x 0 y
6、的取值范围 y 0 位置第一,三象限内第二,四象限内 精品资料欢迎下载 增减性每一象限内, y 随 x 的增大而减小每一象限内 ,y 随 x 的增大而增大 渐近性 反比例函数的图象无限接近于x、y 轴,但永远达不到x、y 轴,画图象时 ,,要体现 出这个特点 . 对称性 若点(m,n) 在反比例函数 x k y 的图象上, 则点(-m,-n)也在此图象上反比例函数的图 象是关于原点成中心对称的图形; 反比例函数的图象也是轴对称图形. 例 2 :已知 2 (1) m ymx是反比例函数,则函数的图象在() A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限 例 3 :函数2ykx与 k y
7、 x (k0 )在同一坐标系内的图象可能是() 例 4 已知反比例函数 x k y的图象经过点 P(-l,2),则这个函数的图象位于 A第二、三象限B第一、三象限C第三、四象限D第二、四象限 3、反比例函数 x k y)0(k中的比例系数 k的几何意义(难点) k 的几何含义: 反比例函数 y k x (k 0) 中比例系数 k 的几何意义,即过双 曲线 y k x (k 0) 上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A、B,则所 得矩形 OAPB的面积为. 例 5:A、B 是函数 2 y x 的图象上关于原点对称的任意 两点,BCx轴, AC y 轴, ABC的面积记为 S, 则
8、 () A2SB4SC24SD4S 例 6 如 图 A 在 反 比 例 函 数(0) k yk x 的 图象 上, AMx 轴于点 M ,AMO的面积为 3,则 k 4 反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程 例 7:如图,一次函数ykxb的图象与反比例函数 m y x 的图象交于 ( 2 1)(1)ABn,两点 (1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求AOB的面积 O y x B A O B x y C A 图 1 精品资料欢迎下载 第 3 节反比例函数的应用 本节内容:运用函数的图象和性质解答实际问题 注:列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围 例 1 :
9、面积一定的梯形,其上底长是下底长的 2 1 ,设下底长 x=10 cm 时,高 y=6 cm (1) 求 y 与 x 的函数关系式; (2) 求当 y=5 cm 时,下底长多少? 例 2: 一定质量的二氧化碳, 当它的体积 V=6 m 3 时, 它的密度 =1.65 kg/m 3. (1) 求 与 V 的函数关系式 . (2) 当气体体积是 1 m3时,密度是多少? (3) 当密度为 1.98 kg/m 3 时,气体的体积是多少? 例 3:如图, Rt AOB的顶点 A 是一次函数 y= x+ m+3 的图象与反比例函 数 y= x m 的图象在第二象限的交点,且S AOB=1,求点 A 的坐标 . 例 4:某厂要制造能装 250mL(1mL=1 cm 3)饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚 度都是 0.02 cm,顶部厚度是底部厚度的3 倍,这是为了防止 “ 砰” 的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕 下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm3. 用铝量 =底面积 底部厚度 +顶部面积 顶部厚度 + 侧面积 侧壁厚度,求 y 与 x 间的函数关系式 .
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