【优质文档】考研必备最新概率论与数理统计公式大全.pdf
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1、学习必备欢迎下载 第一章随机事件和概率 ( 1)排列 组合公式 )!( ! nm m P n m 从 m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m 从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 ( 2)加法 和 乘 法 原 理 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成, 第二种方法可由n 种 方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成, 第二个步骤可由n 种 方法来完成,则这件事可由m n 种方法来完成。 (
2、3)一些 常见排列 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 ( 4)随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 ( 5)基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如 下性质: 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。 基本事件的全体,称为试验的
3、样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A, B,C,表示事件,它们是的子集。 为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件( ?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件( )的概率为1,而概率为1 的事件也不一定是必然事件。 ( 6)事件 的 关 系 与 运算 关系: 如果事件A 的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): BA 如果同时有BA,AB,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与 B的差,记为A-B,
4、也可表 示为A-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:AB,或者AB。AB=?,则表示A与 B不可能同时发生,称 事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的 学习必备欢迎下载 事件。互斥未必对立。 运算: 结合率: A(BC)=(AB)C A (BC)=(A B)C 分配率: (AB) C=(AC) (BC) (A B)C=(AC)(BC) 德摩根率: 11i i i i AA BABA,BABA ( 7)概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P
5、(A) ,若满足 下列三个条件: 1 0 P(A) 1, 2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件 1 A, 2 A,有 11 )( i i i i APAP 常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A) 为事件A的概率。 ( 8)古典 概型 1 n21, , 2 n PPP n 1 )()()( 21 。 设任一事件A,它是由 m21, 组成的,则有 P(A)=)()()( 21m =)()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A ( 9)几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来
6、描述,则称此随机试验为几何概 型。对任一事件A, )( )( )( L AL AP。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。 (10)加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) 0 时, P(A+B)=P(A)+P(B) (11)减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时, P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时, P(B)=1- P(B) (12)条件 概率 定义设 A、B是两个事件,且P(A)0 ,则称 )( )( AP ABP 为事件 A发生条件下,事件 B发生的条件概率,记为)/(ABP )( )( AP ABP 。 条件概率是概率
7、的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 学习必备欢迎下载 (13)乘法 公式 乘法公式:)/()()(ABPAPABP 更一般地,对事件A1,A2, An,若 P(A1A2An-1)0,则有 21 (AAP ) n A)|()|()( 213121 AAAPAAPAP 21 |(AAAP n ) 1n A 。 (14)独立 性 两个事件的独立性 设事件 A、B满足 )()()(BPAPABP ,则称事件 A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立,且 0)(AP ,则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP A
8、BP ABP 若事件A、B相互独立, 则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设 ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B) ;P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A 、B、C相互独立。 对于 n 个事件类似。 (15)全概 公式 设事件 n BBB, 21 满足 1 n BBB, 21 两两互不相容, ),2, 1(0)(niBP i , 2 n i i BA 1 , 则有 )|()
9、()|()()|()()( 2211nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 。 (16)贝叶 斯公式 设事件 1 B, 2 B, n B 及A满足 1 1 B, 2 B, n B两两互不相容, )(BiP 0,i1,2, n, 2 n i i BA 1 , 0)(AP , 则 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/(,i=1 ,2, n。 此公式即为贝叶斯公式。 )( i BP, ( 1i ,2, n) ,通常叫先验概率。 )/(ABP i , ( 1i ,2, n) ,通常称为后验概率。 贝叶斯公式反映了“因果” 的概率规律, 并作出了 “
10、由 果朔因”的推断。 (17)伯努 利概型 我们作了 n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果, A发生或A不发生; n次试验是重复进行的,即 A发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否 是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为 n重伯努利试验。 学习必备欢迎下载 用 p 表示每次试验A发生的概率, 则A发生的概率为 qp1 , 用 )(kPn 表示 n 重伯努利试验中A出现 )0(nkk 次的概率, knk k n n qpkP C )( , nk,2 , 1 , 0 。 第二章随机变量及其分布 (1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布
11、律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,) 且取各个值的概率,即事 件(X=Xk) 的概率为 P(X=xk)=pk ,k=1,2, , 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出: , , | )( 21 21 k k k ppp xxx xXP X 。 显然分布律应满足下列条件: (1) 0 k p , ,2, 1k ,(2) 1 1 k k p 。 (2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度 设 )(xF 是随机变量X的分布函数, 若存在非负函数 )(xf ,对任意实数 x,有 x dxxfxF)()( , 则称X为连续型随机变量。 )(xf
12、 称为X的概率密度函数或密度函数,简称概 率密度。 密度函数具有下面4 个性质: 1 0)(xf 。 2 1)(dxxf 。 (3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量 的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元 dxxf)( 在连续型随机变量理论中所起的作用与 kkpxXP)( 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 学习必备欢迎下载 (4)分布 函数 设X为随机变量,x是任意实数,则函数 )()(xXPxF 称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。 )()()(aFbFbXaP可以得到X 落入区间,(ba的概率。分布 函数)(xF表示随机变量落入区间(, x 内的概
13、率。 分布函数具有如下性质: 1,1)(0xFx; 2)(xF是单调不减的函数,即 21 xx时,有)(1xF)(2xF; 30)(lim)( xFF x ,1)(lim)( xFF x ; 4)()0(xFxF,即)(xF是右连续的; 5)0()()(xFxFxXP。 对于离散型随机变量, xx k k pxF)(; 对于连续型随机变量, x dxxfxF)()(。 (5)八大 分布 0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中,设事件 A发生的概率为p。事件A发生 的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n,2, 1 ,0。 knkk n n qpCkPk
14、XP)()(,其中 nkppq,2, 1 ,0, 10,1, 则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为n, p 的 二 项 分 布 。 记 为 ),(pnBX。 当1n时, kk qpkXP 1 )(,1 .0k,这就是( 0-1 )分 布,所以( 0-1 )分布是二项分布的特例。 学习必备欢迎下载 泊松分布设随机变量 X的分布律为 e k kXP k ! )(,0,2, 1 ,0k, 则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(X或 者 P() 。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n) 。 超几何分布 ),min( ,2, 1 , 0 ,)( nMl lk C CC kXP n
15、N kn MN k M 随机变量X服从参数为n,N,M 的超几何分布,记为H(n,N,M) 。 几何分布 , 3,2 ,1,)( 1 kpqkXP k ,其中 p0,q=1-p 。 随机变量X服从参数为p 的几何分布,记为G(p) 。 均匀分布 设随机变量X的值只落在 a ,b 内, 其密度函数 )(xf 在a ,b 上为常数 ab 1 ,即 ,0 , 1 )(abxf 其他, 则称随机变量X在 a ,b 上服从均匀分布,记为XU(a,b)。 分布函数为 x dxxfxF)()( 当 ax1b。 axb 学习必备欢迎下载 指数分布 其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为
16、记住积分公式: ! 0 ndxex xn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 2 2 2 )( 2 1 )( x exf, x, 其中、 0为常数,则称随机变量 X服从参数为、 的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 ),( 2 NX 。 )(xf 具有如下性质: 1 )(xf 的图形是关于 x 对称的; 2 当 x 时, 2 1 )(f为最大值; 若 ),( 2 NX ,则X的分布函数为 dtexF x t 2 2 2 )( 2 1 )( 。 。 参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布,记为 )1 ,0( NX ,其密度函数记为 2 2 2 1 )( x ex ,x, 分布函数为 x
17、t dtex 2 2 2 1 )( 。 )(x 是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。 (-x)1-(x) 且 (0) 2 1 。 如果X),( 2 N,则 X )1 ,0(N。 12 21 )( xx xXxP。 )(xf , x e 0x , 0, 0x , )(xF ,1 x e 0x , ,0 xx1时,有 F( x2,y ) F(x1,y);当 y2y1时,有 F(x,y 2) F(x,y1); (3)F(x,y )分别对 x 和 y 是右连续的,即 );0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF (4).1),(,0),(),(),(FxFyFF (5)对于, 21
18、21 yyxx 0)()()()( 11211222 yxFyxFyxFyxF,. ( 4)离散 型 与 连 续 型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(, 学习必备欢迎下载 ( 5)边缘 分布 离散型X的边缘分布为 ), 2, 1,()(jipxXPP ij j ii ; Y的边缘分布为 ),2 ,1,()(jipyYPP ij i jj 。 连续型X的边缘分布密度为 ;dyyxfxfX),()( Y的边缘分布密度为 .),()(dxyxfyfY ( 6)条件 分布 离散型在已知X=xi的条件下, Y取值的条件分布为 ; i ij ij p p xXyYP)|(
19、在已知Y=yj的条件下, X取值的条件分布为 ,)|( j ij ji p p yYxXP 连续型在已知 Y=y 的条件下, X的条件分布密度为 )( ),( )|( yf yxf yxf Y ; 在已知 X=x 的条件下, Y的条件分布密度为 )( ),( )|( xf yxf xyf X ( 7)独立 性 一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 jiij ppp 有零不独立 连续型f(x,y)=f X(x)fY(y) 直接判断,充要条件: 可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分 布 , 12 1 ),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 )(2 )1(2 1 2
20、 yyxx eyxf 0 随机变量的 函数 若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn相互独立, h,g 为连续函数,则: h(X1,X2, Xm)和 g(Xm+1, Xn)相互独立。 特例:若X与 Y独立,则: h(X)和 g(Y)独立。 例如:若X与 Y独立,则: 3X+1和 5Y-2 独立。 学习必备欢迎下载 ( 8)二维 均匀分布 设随机向量(X,Y )的分布密度函数为 其他, 0 ),( 1 ),( Dyx S yxf D 其中 SD为区域 D的面积,则称( X,Y)服从 D上的均匀分布,记为(X,Y) U(D) 。 例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 。 y 1 D 1 O
21、1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 学习必备欢迎下载 ( 9)二维 正态分布 设随机向量(X,Y )的分布密度函数为 , 12 1 ),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 )(2 )1(2 1 2 yyxx eyxf 其中1| ,0,0, 21,21 是 5 个参数,则称( X,Y)服从二维正态分 布, 记为( X,Y) N()., 2 2 2 1, 21 由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布, 即 XN( ).(), 2 2,2 2 11 NY 但是若 X N()(), 2
22、 2, 2 2 11 NY,(X,Y)未必是二维正态分布。 (10)函数 分布 Z=X+Y 根据定义计算:)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型, fZ(z) dxxzxf ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 2 2 2 121 ,) 。 n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 i ii C, i ii C 222 Z=max,min( X1,X2,Xn) 若 nXXX21, 相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为 )()()( 21 xFxFxF nxxx ,则Z=max,min(X 1,X2, Xn)的分布 函数为: )()()()( 21 max
23、 xFxFxFxF n xxx )(1)(1)(11)( 21 min xFxFxFxF n xxx 学习必备欢迎下载 2 分布 设 n 个随机变量 n XXX, 21 相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和 n i i XW 1 2 的分布密度为 .0, 0 ,0 2 2 1 )( 2 1 2 2 u ueu n uf un n 我们称随机变量W 服从自由度为n的 2 分布, 记为 W )( 2 n, 其中 . 2 0 1 2 dxex nx n 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。 2 分布满足可加性:设 ),( 2 ii nY 则 ).
24、( 21 1 2 k k i i nnnYZ t 分布设 X,Y是两个相互独立的随机变量,且 ),(),1 ,0( 2 nYNX 可以证明函数 nY X T / 的概率密度为 2 1 2 1 2 2 1 )( n n t n n n tf ).(t 我们称随机变量T 服从自由度为n 的 t 分布,记为Tt(n) 。 )()( 1 ntnt 学习必备欢迎下载 F 分布 设)(),( 2 2 1 2 nYnX,且X 与 Y 独 立,可以 证明 2 1 / / nY nX F的概率密度函数为 0,0 0,1 22 2 )( 2 2 1 1 2 2 2 1 21 21 21 1 1 y yy n n
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