【优质文档】解三角形知识点归纳.pdf
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1、学习必备欢迎下载 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180 ; C=180 (A+B) ; 2、三角形三边关系:a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系:sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABC sincos,cossin,tancot 222222 ABCABCABC 4、正弦定理:在 C中,a、b、c分别为角 、C的对边, R为C的外 接圆的半径,则有2 sinsinsin abc R C 5、正弦定理的变形公式: 化角为边:2sinaR,2sinbR,2 sincRC; 化边为角:sin 2 a R ,sin 2 b R ,sin
2、2 c C R ; :sin:sin:sina b cC; sinsinsinsinsinsin abcabc CC 6、两类正弦定理解三角形的问题:已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 已知两角和其中一边的对角,求其他边角.( 对于已 知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)) 7、三角形面积公式: 111 sinsinsin 222 C SbcabCac=2R 2sinAsinBsinC= R abc 4 = 2 )(cbar = )()(cpbpapp 8、余弦定理:在 C中,有 222 2cosabcbc, 222 2cosbacac, 222 2cosca
3、babC 9、余弦定理的推论: 222 cos 2 bca bc , 222 cos 2 acb ac , 222 cos 2 abc C ab 10、余弦定理主要解决的问题: 已知两边和夹角,求其余的量。 已知三边求角) 11、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一 成边的形式或角的形式 设a、b、c是C的角、C的对边,则: 若 222 abc,则90C; 学习必备欢迎下载 若 222 abc,则90C; 若 222 abc,则90C 12、三角形的五心: 垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点
4、 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 题型之一:求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高 线、角平分线、中线)及周长等基本问题 1. 在ABC中, AB=3 ,AC=2 ,BC=10,则AB AC( ) A 2 3 B 3 2 C 3 2 D 2 3 【答案】 D 2 ( 1)在ABC中,已知 0 32.0A, 0 81.8B,42.9acm,解三角形; (2)在ABC中,已知20acm,28bcm, 0 40A,解三角形(角度精确到 0 1,边 长精确到1cm ) 。
5、 3 ( 1)在ABC中,已知2 3a,62c, 0 60B,求 b 及 A ; (2)在ABC中,已知134.6acm,87.8bcm,161.7ccm,解三角形 4(2005 年全国高考江苏卷) ABC中, 3 A,BC3,则ABC的周长为() A 3 3 sin34B B3 6 sin34B C3 3 sin6BD3 6 sin6B 分析:由正弦定理,求出b 及 c,或整体求出bc,则周长为3bc 而得到结果选(D) 5 ( 2005 年全国高考湖北卷) 在 ABC 中,已知 6 6 cos, 3 64 BAB,AC 边上的中 线 BD=5,求 sinA 的值 分析:本题关键是利用余弦定
6、理,求出AC 及 BC,再由正弦定理,即得sinA 解:设 E 为 BC 的中点,连接DE,则 DE/AB,且 3 62 2 1 ABDE,设 BEx 学习必备欢迎下载 在BDE 中利用余弦定理可得:BEDEDBEEDBEBDcos2 222 , xx 6 6 3 62 2 3 8 5 2 ,解得1x, 3 7 x(舍去) 故 BC=2,从而 3 28 cos2 222 BBCABBCABAC,即 3 212 AC 又 6 30 sin B, 故 2 21 2 3 sin 30 6 A , 14 70 sin A 在 ABC 中,已知a2,b2 2,C15 ,求 A。 答案: 000 0180
7、30BAAA,且, 题型之二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状 1. (2005 年北京春季高考题)在ABC中,已知CBAsincossin2,那么ABC一定是 () A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 解法 1:由CBAsincossin2sin(AB)sinAcosBcosAsinB, 即 sinAcosBcosAsinB0,得 sin(AB)0,得 AB故选 (B) 解法 2:由题意,得cosB sin 2sin2 Cc Aa ,再由余弦定理,得cosB 222 2 acb ac 222 2 acb ac 2 c a ,即 a 2b2,得 a
8、b,故选 (B) 评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:统一化为角,再判断(如解法1),统一 化为边,再判断(如解法 2) 2在 ABC 中,若 2cosBsinAsinC,则 ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 答案: C 解析: 2sinAcosBsin( AB) sin(AB)又 2sinAcosBsinC, sin(AB) 0, AB 3.在 ABC 中,若 a b A B 2 2 tan tan ,试判断 ABC 的形状。 答案:故 ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在 ABC 中,coscosAb,判断 ABC 的形
9、状。 答案: ABC 为等腰三角形或直角三角形。 学习必备欢迎下载 题型之三:解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题 1. (2005 年全国高考上海卷) 在ABC中,若120A,5AB,7BC, 则 ABC的面积 S _ 2在ABC中,sincosAA 2 2 ,AC2,AB 3,求Atan 的值和ABC的面 积。 答案:SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin() 3. (07 浙江理 18)已知ABC的周长为21,且sinsin2 sinABC (I)求边 AB的长; (II )若ABC的面积为 1 sin 6 C,求角C
10、的度数 解: (I)由题意及正弦定理,得21ABBCAC,2BCACAB, 两式相减,得 1AB (II )由ABC的面积 11 sinsin 26 BC ACCC,得 1 3 BC AC, 由余弦定理,得 222 cos 2 ACBCAB C AC BC 22 ()21 22 ACBCAC BCAB AC BC , 所以60C 题型之四:三角形中求值问题 1. (2005 年全国高考天津卷) 在ABC中,CBA、所对的边长分别为cba、, 设cba、满足条件 222 abccb和3 2 1 b c ,求A和Btan的值 分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理 解:由余弦
11、定理 2 1 2 cos 222 bc acb A,因此,60A 在 ABC 中, C=180 A B=120 B. 由已知条件,应用正弦定理 B B B C b c sin )120sin( sin sin 3 2 1 , 2 1 cot 2 3 sin sin120coscos120sin B B BB 解得,2cot B从而. 2 1 tanB 2ABC的三个内角为ABC、 、,求当A为何值时,cos2cos 2 BC A取得最大值, 并求出这个最大值。 学习必备欢迎下载 解析:由 A+B+C= ,得 B+C 2 = 2 A 2 ,所以有cosB+C 2 =sinA 2 。 cosA+2
12、cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =12sin 2A 2 + 2sin A 2=2(sin A 2 1 2) 2 + 3 2; 当 sinA 2 = 1 2,即 A= 3 时, cosA+2cos B+C 2 取得最大值为 3 2。 3在锐角ABC中,角ABC, ,所对的边分别为abc, ,已知 22 sin 3 A, (1)求 22 tansin 22 BCA 的值; (2)若2a,2 ABC S ,求b的值。 解析: ( 1)因为锐角ABC 中, ABC , 2 2 sin 3 A,所以 cosA 1 3 , 则 2 222 2 BC sin BCAA 2 tansinsi
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