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1、精品资料欢迎下载 三角函数的图像和性质 课题 三角函数的图像和性质 学情分析 三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容,学生刚刚刚学到,对好多概念还 不很清楚,理解也不够透彻,需要及时加强巩固。 教学目标与 考点分析 1掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用; 2掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、 求单调区间等问题中的应用 教学重点三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。 教学方法导入法、讲授法、归纳总结法 基础梳理 1“五点法 ”描图 (1)ysin x的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为 (0,0),)1 , 2 ( ,( ,0), )1, 2
2、 3 ( ,(2 ,0) (2)ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为 (0,1),)0, 2 (,( ,1), )0, 2 3 (,(2 ,1) 2三角函数的图象和性质 函数 性质 ysin xycos xytan x 定义域RR x|xk 2,kZ 图象 值域1,11,1R 精品资料欢迎下载 对称性 对称轴: xk 2(kZ) 对称中心: (k ,0)(kZ) 对称轴: xk(kZ) 对称中心: Zkk)0 , 2 ( 无对称轴 对称中心: Zk k )0 , 2 ( 周期22 单调性 单调增区间 Zkkk 2 2, 2 2; 单调减区间 Zkkk 2 3 2 , 2 2
3、单调增区间 2k ,2k( kZ); 单调减区间 2k ,2k ( kZ) 单调增区间 Zkkk) 2 , 2 ( 奇偶性奇偶奇 两条性质 (1)周期性 函数 yAsin(x )和 yAcos(x )的最小正周期为 2 | |,ytan(x )的最小正周 期为 | |. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为yAsin x 或yAtan x , 而偶函数一般可化为 yAcos x b 的形式 三种方法 求三角函数值域 (最值 )的方法: (1)利用 sin x、cos x的有界性; (2)形式复杂的函数应化为yAsin(x )k 的形式逐步分析x 的范围,根据正 弦函数单调性写出函数的值域;
4、 (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体, 可化为求函数在区间上的值域(最值)问题 精品资料欢迎下载 双基自测 1函数) 3 cos(xy,xR() A是奇函数 B是偶函数 C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数 ) 4 tan(xy 的定义域为 () A , 4 |Zkkxx B, 4 2|Zkkxx C, 4 |ZkkxxD, 4 2|Zkkxx 3) 4 sin( xy的图象的一个对称中心是 () A( ,0) B)0, 4 3 ( C)0, 2 3 (D)0 , 2 ( 4函数 f(x)cos) 6 2( x的最小正周期为 _ 考向一三角函数的周
5、期 【例 1】?求下列函数的周期: (1) ) 23 sin(xy ;(2) 6 3tan( xy 考向二三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数 图象来求解 (2)求解三角函数的值域 (最值)常见到以下几种类型的题目: 精品资料欢迎下载 形如 yasin 2xbsin xc 的三角函数,可先设 sin xt,化为关于 t 的二次函数求 值域(最值); 形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c的三角函数,可先设tsin x cos x,化为关 于 t 的二次函数求值域 (最值) 【例 2】?(1)求函数 ylg
6、sin 2x9x2的定义域 (2)求函数 ycos 2xsin x ) 4 |(| x的最大值与最小值 【训练 2】 (1)求函数 ysin xcos x的定义域; (2)1cos2lg( sin) 4 tan( x xx y 的定义域 (3)已知)(xf的定义域为1 , 0,求)(cos xf的定义域 . 考向三三角函数的单调性 求形如 yAsin(x )k 的单调区间时,只需把x 看作一个整体代入ysin x 的相应单调区间内即可,若为负则要先把 化为正数 【例 3】?求下列函数的单调递增区间 精品资料欢迎下载 (1)2 3 cos(xy,(2) ) 3 2 4 sin( 2 1 xy,(
7、3) ) 3 3tan( xy. 【训练 3】 函数 f(x)sin) 3 2(x的单调减区间为 _ 考向四三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形正切函数的图象只是中心 对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用 【例 4】?(1)函数 ycos) 3 2( x图象的对称轴方程可能是 () Ax 6 Bx 12 Cx 6 Dx 12 (2)若 0 2, ) 4 2sin()(xxg是偶函数,则 的值为 _ 【训练 4】 (1)函数 y2sin(3x ) 2 |(|的一条对称轴为 x 12,则 _. (2)函数 ycos(3x )的图象关于原点
8、成中心对称图形则 _. 难点突破 利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些正确利用 精品资料欢迎下载 三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时 通常将方程的思想与待定系数法相结合 【示例】? 已知函数 f(x)sin) 3 ( x( 0)的单调递增区间为 12 , 12 5 kk(k Z),单调递减区间为 12 7 , 12 kk(kZ),则 的值为 _ 练一练: 1、已知函数) 3 3sin()(xxf (1)判断函数的奇偶性; (2)判断函数的对称性 2、 设 函 数)0)(2sin()(xxf的 图
9、 象的 一 条 对 称 轴 是 直 线 8 x, 则 _ 课后练习: 三角函数的图象与性质练习题 一、选择题 (1) 下列各命题中正确的 是 精品资料欢迎下载 (2) 下列四个命题中,正确的 是 A函数 y=ctgx 在整个定义域内是减函数 By=sinx 和 y=cosx 在第二象限都是增函数 C函数 y=cos(-x) 的单调递减区间是 (2k - ,2k)(k Z) (3) 下列命题中,不正确的 是 D函数 y=sin|x|是周期函数 (4) 下列函数中,非奇非偶的函数 是 (5) 给出下列命题: 函数 y=-1-4sinx-sin 2x 的最大值是 2 函数 f(x)=a+bcosx(
10、aR且 bR - ) 的最大值是 a-b 精品资料欢迎下载 以上命题中正确命题的个数 是 A1 B2 C3 D4 Asin costg Bcostg sin Csin tg cos Dtg sin cos (7) 设 x 为第二象限角,则必 有 二、填空题 (9) 函数 y=sinx+sin|x|的值域是 _ 精品资料欢迎下载 的值是 _ (11) 设函数 f(x)=arctgx的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位, 所得到的图象为 C, 又设图象 C1与 C关于原点对称,那么C 1所对应的函数是 _ (12) 给出下列命题: 存在实数 ,使 sin cos=1 若,是第一象限角, 则 tg
11、 tg 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题 (14) 已知函数 y=cos 2x+asinx-a2+2a+5有最大值 2,试求实数 a 的值 精品资料欢迎下载 答案与提示 一、 (1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D 提示 (2)y=ctgx在(k ,k+)(k Z)内是单调递减函数 y=cos(-x)=cosx在2k - ,2k(k Z)上是增函数,而在 2k ,2k+ 上是减函数 (3) 可画出 y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之 精品资料欢迎下载 (5) =-y(sinx+2) 2+3 sinx=-1 时,ymax=2 当 cosx=-1 时,f(x) max=a-b cossin tg 精品资料欢迎下载 二、(9)-2,2 (10)2或 3 (11)y=arctg(x+2) (12) 提示 (11)C:yarctg(x-2),C1:-y=arctg(-x-2),y=arctg(x+2) 由 39045,但 tg390=tg30tg45 ,故不正确 综上,正确 三、 精品资料欢迎下载
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