【优质文档】高中数学圆锥曲线题型总结.pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识 : 1、中点坐标公式: 1212 ,y 22 xxyy x,其中,x y是点 1122 (,)(,)A xyB xy,的中点坐标。 2、弦长公式:若点 1122 (,)(,)A x yB xy,在直线(0)ykxb k上, 则 1122 ykxbykxb,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, 222222 1212121212 ()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx 22 1212 (1)()4kxxx x 或者 22222 1212121212 2 111 ()()()()(1)()ABxxyyxxyyyy
2、 kkk 2 1212 2 1 (1)()4yyy y k 。 3、两条直线 111222 :,:lyk xb lyk xb垂直:则 12 1k k两条直线垂直,则直线所在的向量 12 0v v 4、韦达定理:若一元二次方程 2 0(0)axbxca有两个不同的根 12 ,x x,则 1212 , bc xxx x aa 。 常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1、已知直线:1lykx与椭圆 22 :1 4 xy C m 始终有交点,求m的取值范围 解:根据直线:1lykx的方程可知,直线恒过定点(0,1) ,椭圆 22 :1 4 xy C m 过动点0),4
3、mm( ,且,如 果直线:1lykx和椭圆 22 :1 4 xy C m 始终有交点,则14mm,且,即14mm且。 规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: :10 1lykx过定点(, ):(1)1lyk x过定点(,0):2(1)1lyk x过定点(,2) 题型二:弦的垂直平分线问题 例题 2、过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N : 2 yx交于 A、B 两点,在x 轴上是否存在一点E( 0 x,0),使得ABE是等 边三角形,若存在,求出 0 x;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线:(1)lyk x,0k, 11 (,)A xy,
4、22 (,)B xy。 由 2 (1)yk x yx 消 y 整理,得 2222 (21)0k xkxk 由直线和抛物线交于两点,得 2242 (21)4410kkk即 2 1 0 4 k 由韦达定理,得: 2 122 21 , k xx k 12 1x x。 优秀学习资料欢迎下载 则线段 AB 的中点为 2 2 211 (,) 22 k kk 。线段的垂直平分线方程为: 2 2 1112 () 22 k yx kkk 令 y=0,得 02 11 22 x k ,则 2 11 (,0) 22 E k ABE为正三角形, 2 11 (,0) 22 E k 到直线 AB 的距离 d 为 3 2 A
5、B。 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 2 14 1 k k k 2 1 2 k d k 22 2 2 3 141 1 22 kk k kk 解得 39 13 k满足式此时 0 5 3 x。 题型三:动弦过定点的问题 例题 3、已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ,且在 x 轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求椭圆的方程; (II)若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点 T,点 P为直线l上异于点T 的任一点,直线PA1,PA2分别 与椭圆交于M、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论 解: (I)由
6、已知椭圆C 的离心率 3 2 c e a ,2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为 2 2 1 4 x y (II )设 11 (,)M x y, 22 (,)N xy,直线 1 A M的斜率为 1 k,则直线 1 A M的方程为 1( 2)yk x,由 1 22 (2) 44 yk x xy 消 y 整 理 得 222 121 (14)161640kxk xk 1 2x和是 方 程 的 两 个 根 , 2 1 1 2 1 164 2 1 4 k x k 则 2 1 1 2 1 28 14 k x k , 1 12 1 4 14 k y k ,即点M的坐标为 2 11 22 11 284 (,
7、) 1414 kk kk ,同理,设直线A2N 的斜率为 k2,则得点 N 的坐标为 2 22 22 22 824 (,) 141 4 kk kk 12 (2),(2) pp yk tykt 12 12 2kk kkt ,直线 MN 的方程为: 121 121 yyyy xxxx , 令 y=0,得 2112 12 x yx y x yy ,将点 M、N 的坐标代入,化简后得: 4 x t 又 2t , 4 02 t 椭圆的焦点为 ( 3,0) 4 3 t ,即 4 3 3 t 故当 4 3 3 t时, MN 过椭圆的焦点。 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 例题 4、已知点 A、B、C 是
8、椭圆 E: 22 22 1 xy ab (0)ab上的三点,其中点A(23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O,且0AC BC,2BCAC,如图。 优秀学习资料欢迎下载 (I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程; (II) 若椭圆 E 上存在两点P、Q,使得直线PC 与直线 QC 关于直线3x对称,求 直线 PQ 的斜率。 解: (I) 2BCAC,且 BC 过椭圆的中心O OCAC0AC BC 2 ACO 又A (23,0)点 C 的坐标为( 3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点,2 3a,则椭圆方程为: 22 2 1 12 xy b 将点 C( 3,3)代入方程,得 2 4b,椭
9、圆 E 的方程为 22 1 124 xy (II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x对称,设直线 PC 的斜率为k,则直线QC 的斜率为k,从而直线PC 的方程为: 3(3)yk x,即3(1)ykxk,由 22 3(1) 3120 ykxk xy 消 y,整理得: 222 (13)6 3 (1)91830kxkk xkk3x是方程的一个根, 2 2 9183 3 13 P kk x k 即 2 2 9183 3(13) P kk x k 同理可得: 2 2 9183 3(1 3) Q kk x k 3(1)3(1) PQPQ yykxkkxk()2 3 PQ k xxk 2 12 3(1
10、3) k k 22 22 91839183 3(13)3(1 3) PQ kkkk xx kk 2 36 3(13) k k 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 则直线 PQ 的斜率为定值 1 3 。 题型五:共线向量问题 例题 5、设过点D(0,3)的直线交曲线M: 22 1 94 xy 于 P、Q 两点,且DPDQl= uuu ruuu r ,求实数 l 的取值范围。 解:设 P(x1,y1),Q(x 2,y2),Q DPDQl= uuu ruuu r (x1,y1-3)= l (x2,y2-3)即 12 12 3(3) xx yy l l = ? ? ?=+- ? ? ? 方法一:
11、方程组消元法又QP、Q 是椭圆 2 9 x + 2 4 y =1 上的点 22 22 22 22 1 94 ()(33 ) 1 94 xy xylll ? ? += ? ? ? ? +- ? +=? ? ? ? 优秀学习资料欢迎下载 消去 x2,可得 222 2 22 (33 ) 1 4 yylll l +- =- 即 y2= 135 6 l l - 又Q2y22,2 135 6 l l - 2 解之得: 1 5 5 则实数 l 的取值范围是 1 ,5 5 。方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为:3,0ykxk,由 22 3 4936 ykx xy 消 y整理后,得 22
12、(49)54450kxkxP、 Q是曲线 M 上的两点 22 (54 )445(49)kk 2 144800k即 2 95k由韦达定理得: 1212 22 5445 , 4949 k xxx x kk 2 1212 1221 () 2 xxxx x xxx 222 2 54(1) 45(49) k k 即 2 222 36944 1 5(1)99 k kk 由得 2 11 0 95k ,代入,整理得 2 369 1 5(1)5 ,解之得 1 5 5 当直线PQ 的斜率不存在,即0x时,易知5或 1 5 。总之实数 l 的取值 范围是 1 ,5 5 。 题型六:面积问题 例题 6、已知椭圆C:1
13、 2 2 2 2 b y a x (ab0)的离心率为, 3 6 短轴一个端点到右焦点的距离为3。 ()求椭圆C 的方程;()设直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点O 到直线 l 的距离为 2 3 ,求 AOB 面积 的最大值。 解: ()设椭圆的半焦距为c,依题意 6 3 3 c a a , , 1b,所求椭圆方程为 2 2 1 3 x y。 ()设 11 ()A xy, 22 ()B xy,。 (1)当ABx轴时,3AB。 (2)当AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为ykxm。由已知 2 3 2 1 m k ,得 223 (1) 4 mk。 把ykxm代入椭圆方程,整理得
14、222 (31)6330kxkmxm, 12 2 6 31 km xx k , 2 122 3(1) 31 m x x k 。 2 22 21 (1)()ABkxx 222 2 222 3612(1) (1) (31)31 k mm k kk 22222 2222 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31) kkmkk kk 优秀学习资料欢迎下载 2 42 2 2 121212 33(0)34 1 961236 96 k k kk k k 。当且仅当 2 2 1 9k k ,即 3 3 k时等号成立。当 0k时,3AB,综上所述 max 2AB。当AB最大时,AOB面积取最大值 ma
15、x 133 222 SAB。 题型七:弦或弦长为定值问题 例题 7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x 2=2py(p0)相交于 A、B 两点。 ()若点N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB 面积的最小值; ()是否存在垂直于y 轴的直线l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存 在,说明理由。 () 依题意,点 N 的坐标为N (0,-p) ,可设 A (x1,y1) ,B ( x2,y2) , 直线 AB 的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得 . 2 2 pkxy pyx 消去 y 得 x 2-
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