2003-数二真题标准答案及解析.pdf
《2003-数二真题标准答案及解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2003-数二真题标准答案及解析.pdf(20页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2003 年考研数学(二)真题 一、 填空题 (本题共6 小题,每小题4 分,满分24 分. 把答案填在题中横线上) (1) 若0x时,1)1( 4 1 2 ax与xxsin是等价无穷小,则a=. ( 2)设 函 数y=f(x) 由 方 程 4 ln2yxxy所 确 定 , 则 曲 线y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 是. (3) x y2的麦克劳林公式中 n x项的系数是 _. (4) 设曲线的极坐标方程为)0(ae a ,则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所 围成的图形的面积为_. (5) 设为 3 维列向量, T 是的转置 . 若 111 111 111
2、 T ,则 T = . (6) 设三阶方阵A,B 满足 EBABA 2 ,其中E 为三阶单位矩阵,若 102 020 101 A,则 B_. 二、选择题 (本题共6 小题,每小题4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设, nnn cba均为非负数列,且0lim n n a,1lim n n b, n n clim,则必有 (A) nn ba对任意 n 成立 . (B) nn cb对任意 n 成立 . (C) 极限 nn n calim不存在 . (D) 极限 nn n cblim不存在 . (2) 设dxxxa n
3、n n n n 1 2 3 1 0 1 , 则极限 n n nalim等于 (A) 1)1( 2 3 e. (B) 1)1 ( 2 3 1 e. (C) 1)1( 2 3 1 e. (D) 1)1( 2 3 e. (3) 已知 x x y ln 是微分方程)( y x x y y的解,则)( y x 的表达式为 (A). 2 2 x y (B) . 2 2 x y (C) . 2 2 y x (D) . 2 2 y x (4) 设函数 f(x) 在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x) 有 (A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两
4、个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x (5)设 4 0 1 tan dx x x I,dx x x I 4 0 2 tan , 则 (A) . 1 21 II(B) .1 21 II (C) .1 12 II(D) .1 12 II (6) 设向量组 I: r , 21 可由向量组II: s , 21 线性表示,则 (A) 当sr时,向量组II 必线性相关 . (B) 当sr时,向量组II 必线性相关 . (C) 当sr时,向量组I 必线性相关 . (D) 当sr时,向量组I 必线性相关 . 三 、 (本题满分10 分) 设函数 ,0 ,0 ,0 , 4 sin 1
5、,6 , arcsin )1ln( )( 2 3 x x x x x axxe xx ax xf ax 问 a 为何值时, f(x) 在 x=0 处连续; a 为何值时, x=0 是 f(x) 的可去间断点? 四 、 (本题满分9 分) 设函数 y=y(x) 由参数方程)1( ,21 ln21 1 2 t du u e y tx t u 所确定,求. 9 2 2 x dx yd 五 、 (本题满分9 分) 计算不定积分. )1( 2 3 2 arctan dx x xe x 六 、 (本题满分12 分) 设函数 y=y(x) 在),(内具有二阶导数,且)(,0yxxy是 y=y(x) 的反函数
6、 . (1) 试将 x=x(y) 所满足的微分方程0)(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 变换为 y=y(x) 满足的微分方程; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 )0(, 0)0(yy的解 . 七 、 (本题满分12 分) 讨论曲线kxyln4与xxy 4 ln4的交点个数 . 八 、 (本题满分12 分) 设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点) 2 1 , 2 2 (,其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q,且线 段 PQ 被 x 轴平分 . (1) 求曲线y=f(x) 的方程; (2) 已知曲线 y=sinx 在,0上的弧长为l,试用l表示曲线
7、y=f(x) 的弧长 s. 九 、 (本题满分10 分) 有一平底容器,其内侧壁是由曲线)0)(yyx绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面 圆的半径为2 m.根据设计要求,当以min/3 3 m的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以min/ 2 m的 速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体). (1) 根据 t 时刻液面的面积,写出t 与)(y之间的关系式; (2) 求曲线)(yx的方程 . (注: m 表示长度单位米,min 表示时间单位分.) 十 、 (本题满分10 分) 设函数 f(x) 在闭区间 a,b上连续, 在开区间 (a,b)内可导, 且.0)(xf若极限 ax
8、 axf ax )2( lim存在, 证 明: (1)在(a,b)内 f(x)0; (2)在(a,b)内存在点,使 )( 2 )( 22 f dxxf ab b a ; (3) 在(a,b) 内存在与 (2)中相异的点,使 b a dxxf a abf.)( 2 )( 22 十 一、 (本题满分10 分) 若矩阵 600 28 022 aA相似于对角阵,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P 使. 1 APP 十二、 (本题满分8 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l032cbyax, : 2 l032acybx, : 3 l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
9、.0cba 2003年考研数学(二)真题评注 一、填空题 (本题共6 小题,每小题4 分,满分24 分. 把答案填在题中横线上) (1) 若0x时,1)1( 4 1 2 ax与xxsin是等价无穷小,则a=-4 . 【分析 】 根据等价无穷小量的定义,相当于已知1 sin )1 ( lim 4 1 2 0 xx ax x ,反过来求a. 注意在计算过程中 应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详解 】当0x时, 2 4 1 2 4 1 1)1(axax, 2 sinxxx. 于是,根据题设有1 4 1 4 1 lim sin )1 ( lim 2 2 0 4 1 2 0 a x ax
10、xx ax xx ,故 a=-4. ( 2)设 函 数y=f(x) 由 方 程 4 ln2yxxy所 确 定 , 则 曲 线y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 是 x-y=0 . 【分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解 】等式 4 ln2yxxy两边直接对x 求导,得 yy x yxy 3 4 2 , 将 x=1,y=1 代入上式,有.1)1(y故过点 (1,1)处的切线方程为 ) 1(11xy,即.0yx 【评注 】本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点. (3) x y2的麦克劳林公式中 n x项的系数
11、是 ! )2( ln n n . 【分析 】 本题相当于先求y=f(x) 在点 x=0 处的 n 阶导数值)0( )(n f,则麦克劳林公式中 n x项的系数是 . ! )0( )( n f n 【详解 】因为2ln2 x y, 2 )2(ln2 x y, nxx y)2(ln2, )( ,于是有 nn y)2( ln)0( )( ,故麦克劳林公式中 n x项的系数是. ! )2(ln ! )0( )( nn y nn 【评注 】本题属常规题型,在一般教材中都可找到答案. (4) 设曲线的极坐标方程为)0(ae a ,则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所 围成的图形的面积为)1( 4
12、 1 4 a e a . 【分析 】利用极坐标下的面积计算公式dS)( 2 12 即可 . 【详解 】所求面积为 dedS a 2 0 2 2 0 2 2 1 )( 2 1 = 2 0 2 4 1a e a )1( 4 14 a e a . 【评注 】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算,也可化为参数方程求面积,但计算过程比较复杂. (5) 设为 3 维列向量, T 是的转置 . 若 111 111 111 T ,则 T = 3 . 【分析 】本题的关键是矩阵 T 的秩为1,必可分解为一列乘一行的形式,而行向量一般可选第一 行(或任一非零行) ,列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. 【详解
13、 】由 111 111 111 T =111 1 1 1 ,知 1 1 1 ,于是 .3 1 1 1 111 T 【评注 】 一般地,若n 阶矩阵 A 的秩为 1,则必有. 21 2 1 n n bbb a a a A (6) 设三阶方阵A,B 满足 EBABA 2 , 其中 E 为三阶单位矩阵, 若 102 020 101 A, 则B 2 1 . 【分析 】先化简分解出矩阵B,再取行列式即可. 【详解 】由EBABA2知, EABEA)( 2 ,即EABEAEA)(, 易知矩阵A+E 可逆,于是有.)(EBEA 再两边取行列式,得1BEA, 因为2 002 010 100 EA, 所以B 2
14、 1 . 【评注 】 本题属基本题型,综合考查了矩阵运算与方阵的行列式,此类问题一般都应先化简再计算. 二、选择题 (本题共6 小题,每小题4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设, nnn cba均为非负数列,且0lim n n a,1lim n n b, n n clim,则必有 (A) nn ba对任意 n 成立 . (B) nn cb对任意 n 成立 . (C) 极限 nn n calim不存在 . (D) 极限 nn n cblim不存在 . D 【分析 】本题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关
15、,可立即排除(A),(B) ; 而极限 nn n calim是0型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可;极限 nn n cblim属1型,必为无穷 大量,即不存在. 【详解 】 用举反例法,取 n an 2 ,1 n b,), 2, 1( 2 1 nncn ,则可立即排除(A),(B),(C) ,因此 正确选项为 (D). 【评注 】 对于不便直接证明的问题,经常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项. (2) 设dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 , 则极限 n n nalim等于 (A) 1)1( 2 3 e. (B) 1)1 ( 2 3 1 e. (C) 1)1
16、( 2 3 1 e. (D) 1)1( 2 3 e. B 【分析 】 先用换元法计算积分,再求极限. 【详解 】 因为 dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 =)1 (1 2 3 1 0 n n n n xdx n = 1) 1 (1 1 )1 ( 1 2 3 1 0 2 3 n n n n n n n x n , 可见 n n nalim=.1)1 ( 1) 1 (1lim 2 3 1 2 3 e n nn n 【评注 】 本题属常规题型,综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点,但定积分和数列极限 的计算均是最基础的问题,一般教材中均可找到其计算方法. (3) 已知
17、x x y ln 是微分方程)( y x x y y的解,则)( y x 的表达式为 (A). 2 2 x y (B) . 2 2 x y (C) . 2 2 y x (D) . 2 2 y x A 【分析 】 将 x x y ln 代入微分方程, 再令的中间变量为u, 求出)(u的表达式, 进而可计算出)( y x . 【详解 】将 x x y ln 代入微分方程)( y x x y y,得 )(ln ln 1 ln 1ln 2 x xx x ,即 x x 2 ln 1 )(ln. 令 lnx=u ,有 2 1 )( u u,故)( y x =. 2 2 x y 应选 (A). 【评注 】
18、本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来,具有一定的综合性,但问题本身并不复 杂,只要仔细计算应该可以找到正确选项. (4) 设函数 f(x) 在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x) 有 (D)一个极小值点和两个极大值点. (E)两个极小值点和一个极大值点. (F)两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. C y O x 【分析 】 答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点,共4 个,是极 大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解 】 根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3 个,而x=0 则是导数不
19、存在的点. 三个 一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点,一个极大值点;在x=0 左侧 一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x=0 为极大值点,故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点,应 选(C). 【评注 】 本题属新题型, 类似考题2001 年数学一、 二中曾出现过,当时考查的是已知f(x) 的图象去 推导)(xf的图象,本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过. (5)设 4 0 1 tan dx x x I,dx x x I 4 0 2 tan , 则 (A) . 1 21 II(B) .1 21 II (C) .1 12 II(D)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2003 数二真题 标准答案 解析
链接地址:https://www.31doc.com/p-5304839.html