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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标II卷) 数学(文科) 一选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 2 2,0, 2,|20ABx xx,则AB() A.B. 2C. 0D. 2 (2) 13 1 i i () A.12iB. 12iC. 12iD. 1 2i (3)函数( )f x在 0 xx处导数存在,若 0 :()0pf x: 0 :q xx是( )f x的极值点,则 Ap是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.
2、p既不是q的充分条件,学科网也不是q的必要条件 (4)设向量,a b满足10ab,6ab,则a b=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 (5)等差数列 n a 的公差是2,若 248 ,aaa成等比数列,则 n a 的前n项和 n S() A. (1)n nB. (1)n nC. (1) 2 n n D. (1) 2 n n (6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视 图 , 该 零 件由 一 个 底面半径 为3cm, 学 科网高 为6cm 的 圆 柱 体 毛坯 切 削 得 到, 则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为() A. 27
3、 17 B. 9 5 C. 27 10 D. 3 1 (7)正三棱柱 111 ABCA B C的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥 11 AB DC的体积为 (A)3(B) 3 2 (C)1(D) 3 2 (8)执行右面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S (A)4(B)5(C)6(D)7 (9)设x,y满足约束条件 10, 10, 330, xy xy xy 则2zxy的最大值为 (A)8(B)7(C)2(D)1 (10)设F为抛物线 2 :+3Cyx的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则 AB (A) 30 3 (B)6(C)12(D)7 3 (11)
4、若函数fxkxInx在区间1,单调递增,则 k的取值范围是 (A), 2(B), 1(C)2,(D)1, (12)设点 0,1 Mx,若在圆 22 :+1Oxy上存在点N,使得45OMN,则 0 x的取 值范围是 (A)1, 1( B) 1 1 , 2 2 (C)2,2(D) 22 , 22 二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分. (13)甲,乙两名运动员各自等可能地从红、学科网白、 蓝 3 种颜色的运动服中选择1 种, 则他们选择相同颜色运动服的概率为_. (14) 函数xxxfcossin2)sin()(的最大值为 _. (15) 偶函数)(xfy的图像关于直线2x对称,3)3(f,
5、则) 1(f=_. (16) 数列 n a满足2, 1 1 81 a a a n n ,则 1 a_. 三、解答题: (17) (本小题满分12 分) 四边形ABCD的内角A与C互补,2,3,1DACDBCAB. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积 . (18) (本小题满分12 分) 如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E是PD的重 点. (1)证明:PB/平面AEC; (2)设1,3APAD,三棱锥PABD 的体积 3 4 V,求A到 平面PBC的距离 . (19)(本小题满分12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机 访问了50 位市民
6、,根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下: (1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙 两部门的评价 . (20)(本小题满分12 分) 设 12 ,F F分别是椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点,M是C上一点且 2 MF与x 轴垂直,直线 1 MF与C的另一个交点为 N. (1)若直线MN的斜率为 3 4 ,求C的离心率; (2)若直线 MN 在y轴上的截距为 2,且 1 |5|MNF N,求,a b. (21
7、)(本小题满分12 分) 已知函数 32 ( )32f xxxax,曲线( )yf x在点(0,2)处的切线与x轴交点的横 坐标为2. (1)求a; (2)证明:当1k时,曲线( )yf x与直线2ykx只有一个交点 . 请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如多做,则按所做的第一题记分。 (22)(本小题满分10 分)选修4-1 :几何证明选讲 如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于,B C, 2PCPA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E. 证明: (1)BEEC; (2) 2 2AD DEPB (23)(本小题满分10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
8、 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐 标系,半圆 C的极坐标方程为2cos ,0, 2 . ( 1)求C得参数方程; ( 2)设点D在C上,C在D处的切线与直线:32lyx垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D的坐标 . (24) (本小题满分10 分)选修4-5:不等式选讲 设函数 1 ( )|(0)f xxxaa a ( 1)证明:( )2fx; ( 2)若(3)5f,求a的取值范围 . 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 (1)B (2)B (3)C (4)A (5)A (6)C (7)C (8)D (9)B
9、(10)C (11)D (12)A 二、填空题 (13) 1 3 (14)1 (15)3 (16) 1 2 三、解答题 (17)解: (I)由题设及余弦定理得 222 2c o sB DB CC DB CC DC =13 12cosC, 222 2c o sB DA BD AA BD AA 54 c o sC . 由,得 1 cos 2 C,故 0 60C,7BD。 ()四边形 ABCD 的面积 11 sinsin 22 SAB DAABC CDC 011 (1 232)sin 60 22 2 3 (18)解: (I)设 BD 与 AC 的交点为 O,连结 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以
10、 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB. EO平面 AEC,PB平面 AEC, 所以 PB平面 AEC. () V 13 66 PA AB ADAB. 由 3 4 V,可得 3 2 AB. 作 AHPB交 PB 于 H 。 由题设知 BC平面 PAB,所以 BC AH ,故 AH平面 PBC 。 又 PA AB AH PB 3 13 13 . 所以 A 到平面 PBC 的距离为 3 13 13 . (19)解: (I)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位
11、 数的估计值是 75 。 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26 位的是 66,68, 故样本中位数为 6668 67 2 ,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值 是 67. ()由所给茎叶图知, 50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分 别为 5 0.1 50 , 8 0.16 50 ,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90 的概率的 估计值分别为 0.1,0.16. ()由所给茎叶图知, 市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评 分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部 门的评分的标准差, 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为
12、一致, 对乙部 门的评价较低、评价差较大。 (注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的 同样给分。) (20)解: 解: (I)根据 22 cab 及题设知 2 2 ( ,), 23 b M cbac a 将 222 bac代入 2 23bac,解得 1 ,2 2 cc aa (舍去) 故 C 的离心率为 1 2 . ()由题意,原点O 为 12 F F的中点, 2 MF y 轴,所以直线 1 MF与 y 轴的 交点(0,2)D是线段 1 MF的中点,故 2 4 b a ,即 2 4ba 由 1 5MNF N 得 11 2DFF N 。 设 11 (,)N xy,由题意知 1 0y,则 1
13、1 2() 22 cxc y ,即 1 1 3 , 2 1 xc y 代入 C 的方程,得 2 22 91 1 4 c ab 。 将及 22 cab 代入得 2 2 9(4 )1 1 44 aa aa 解得 2 7,428aba, 故7,2 7ab. (21)解: (I)( )fx= 2 36xxa,(0)fa. 曲线( )yf x在点( 0,2)处的切线方程为2yax。 由题设得 2 2 a ,所以 a=1. ()由( I)知, 32 ( )32f xxxx 设( )g x( )2f xkx 32 3(1)4xxk x 由题设知 10k. 当 x 0时 , ()g x 2 3610xxk,(
14、 )g x单 调 递 增 , ( 1)10,(0)4gkg,所以( )g x=0 在,0 有唯一实根。 当0x时,令 32 ( )34h xxx,则( )g x( )(1)( )h xk xh x。 2 ()363(2 )hxxxx x,( )h x在(0, 2)单调递减,在(2,)单调递增,所 以 ()()( 2 )gxh xh 所以( )0g x在(0,)没有实根 . 综上,( )g x=0 在 R 有唯一实根,即曲线( )yf x与直线2ykx只有一个交 点。 (22)解: (I)连结 AB,AC. 由题设知 PA=PD,故PAD=PDA. 因为 PDA=DAC+DCA PAD=BAD+
15、 PAB DCA=PAB, 所以 DAC=BAD,从而BEEC。 因此 BE=EC. ()由切割线定理得 2 PAPB PC。 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得 AD DEBD DC , 所以 2 2AD DEPB . (23)解: (I)C 的普通方程为 22 (1)1(01)xyy. 可得 C 的参数方程为 1cos , sin , xt yt (t 为参数, 0tx ) ()设 D(1cos ,sin )tt.由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心, 1 为半径的 上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, t an3 , 3 tt. 故 D 的直角坐标为(1cos,sin) 33 ,即 33 (,) 22 。 (24)解: (I)由0a,有( )f x 111 ()2xxaxxaa aaa . 所以( )f x2. () 1 (3)33fa a . 当时 a3 时,(3)f= 1 a a ,由(3)f5 得 3a 521 2 。 当 0a3 时,(3)f= 1 6a a ,由(3)f5 得 15 2 a3. 综上, a的取值范围是( 15 2 , 521 2 ).
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