2014年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】.pdf
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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科) 一选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. i为虚数单位,则 2 ) 1 1 ( i i () A.1B. 1C. iD. i 2. 若二项式 7 )2( x a x的展开式中 3 1 x 的系数是84,则实数a() A.2 B. 5 4C. 1 D. 4 2 3. 设U为全集,BA,是集合,则“存在集合C使得CCBCA U ,是“BA” 的 () A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.根据如下样
2、本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5. 0 0.5 0.20. 3 得到的回归方程为abx y ? ,则() A.0, 0 baB.0,0 baC.0, 0 baD.0. 0 ba 5.在如图所示的空间直角坐标系xyzO中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) ,(2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分 别为() A. 和B.和C. 和D.和 6.若函数1 , 1)(),(,0)()()(),( 1 1 为区间则称满足xgxfdxxgxfxgxf上的一组正交 函数,给出三组函数: xxgxxf 2 1
3、cos)(, 2 1 sin)(;1)(,1)(xxgxxf; 2 )(,)(xxgxxf 其中为区间1 ,1的正交函数的组数是() A.0 B.1 C.2 D.3 7.由不等式 02 0 0 xy y x 确定的平面区域记为 1,不等式 2 1 yx yx ,确定的平面区域 记为 2,在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为( ) A. 8 1 B. 4 1 C. 4 3 D. 8 7 8.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系 统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L与高h
4、,计算其体积V 的近似公式 2 1 . 36 vL h它实 际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式 2 2 75 vL h相当于将圆锥体 积公式中的近似取为() A. 22 7 B. 25 8 C. 157 50 D. 355 113 9.已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且 12 3 F PF,则椭圆 和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A. 4 3 3 B. 2 3 3 C.3 D.2 10. 已知函数f (x )是定义在R上的奇函 数,当0x时, 222 1 ()( | )|2|3) . 2 fxxaxaa若,(1)( ),xR f
5、xf x则实数a 的取值范围为 () A. 1 1 , 6 6 B. 66 , 66 C. 1 1 , 3 3 D. 33 , 33 二、填空题:本大题共6 小题,考生共需作答5 小题,每小题5 分,共 25 分.请将答案天灾 答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11 14 题) 11.设向量 (3,3)a , (1, 1)b ,若abab,则实数_. 12.直 线 1 l :y=x+a和 2 l :y=x+b将 单 位 圆 22 :1Cxy分 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 , 则 22 ab_. 13.设a是一个各位数字都不是0 且没有重复数字
6、的三位数.将组成a的 3 个数字按从小到大 排成的三位数记为I a,按从大到小排成的三位数记为D a(例如815a,则 158I a,851D a) .阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 任意输入一个a, 输出的结果 b _. 14.设xf是 定 义 在,0上 的 函 数 , 且0xf, 对 任 意0,0 ba, 若 经 过 点 bfbafa,的直线与x轴的交点为0, c,则称c为ba,关于函数xf的平均数,记 为),(baM f , 例如,当)0(1 xxf时,可得 2 ),( ba cbaM f ,即),(baM f 为ba, 的算术平均数 . (1)当)0_(xxf时,),(baM
7、 f 为ba,的几何平均数; (2)当当)0_(xxf时,),(baM f 为ba,的调和平均数 ba ab2 ; (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) (二)选考题 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,P为O的两条切线,切点分别为BA,,过PA的中点Q作割线交O于DC,两 点,若,3,1 CDQC则_PB 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 1 C的参数方程是 3 3t y tx 为参数t,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程是2,则 1 C与 2 C交点的直角坐标为_ 17、 (本小题满分11 分) 某实验室一天的温度
8、(单位:)随时间(单位;h )的变化近似满足函数关系; (1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温? 18(本小题满分12 分) 已知等差数列满足:=2,且,成等比数列 . (1)求数列的通项公式 . (2)记为数列的前 n 项和,是否存在正整数n,使得若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 19(本小题满分 12分) 如 图 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 1111 DCBAABCD中 ,NMFE,分 别 是 棱 1111,DABAADAB 的 中 点 , 点QP,分 别 在 棱 1DD , 1BB 上 移 动 , 且 20
9、BQDP. (1)当1时,证明:直线 1 BC平面EFPQ; (2)是否存在,使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角?若存在,求出的 值;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分12 分) 计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站,过去50 年的水文资料显示,水库年入 流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40 以上 .其中, 不足 80 的年份有10 年,不低于80 且不超过120 的年份有35 年,超过120 的年份有5 年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多1 年的年入流量超过12
10、0 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制, 并有如下关系; 若某台发电机运行,则该台年利润为5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 21.(满分 14 分)在平面直角坐标系xOy中,点 M 到点1,0F的距离比它到y轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程 (2)设斜率为k 的直线l过定点2,1p, 求直线l与轨迹 C 恰好有一个公共点, 两个公共点, 三个公共点时k 的相应取值范围。 数学(理)(湖北卷)参考答案 一、选择题 (1)A
11、(2)C (3)C (4)B (5)D (6)C (7)D ( 8)B (9)A (10) B 二、填空题 (11)3(12)2 ( 13)495 (14)x;x 或 1 kx; 2 k x(15)4 (16))1 ,3( 三、解答题 (17)解: (I )因为 31 ( )102(cossin)102sin() 212212123 f tttt, 又 240t ,所以 3 7 3123 t,1) 312 sin(1t, 当2t时,1) 312 sin(t;当14t时,1) 312 sin(t; 于是)(tf在)24,0上取得最大值12,取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 C,最低温
12、度为8 C,最大温差为4 C (II )依题意,当11)(tf时实验室需要降温. 由( 1)得) 312 sin(210)(ttf, 所以11) 312 sin(210t,即 1 sin() 1232 t, 又 240t ,因此 6 11 3126 7 t,即1810t, 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. (18)解: (I )设数列 n a的公差为d,依题意,dd42,2 ,2成等比数列, 所以)42(2)2( 2 dd,化简得 2 40dd,解得0d或4d, 当0d时,2 n a;当4d时,244)1(2nnan , 从而得数列 n a的通项公式为2 n a或 24nan. (I
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