2014年全国高考辽宁省数学(理)试卷及答案【精校版】.pdf
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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学 第卷(共 60 分) 一、选择题 :本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的 . 1. 已知全集,|0,|1UR Ax xBx x,则集合() U CAB() A|0x xB|1x xC|01 xxD| 01 xx 2.设复数 z 满足(2 )(2)5zii,则z() A23iB23iC32iD32i 3.已知 1 3 2a, 21 2 11 log,log 33 bc,则() AabcBacbCcabDcba 4.已知 m,n 表示两条不同直线,表示平面,下列说
2、法正确的是() A若/ /,/ /,mn则/ /mnB若m,n,则mn C若m,mn,则/ /nD若/ /m,mn,则n 5.设 , ,a b c是非零向量, 学科 网已知命题P:若0ab,0b c,则0ac;命题 q: 若/ / ,/ /ab bc,则/ /ac,则下列命题中真命题是() ApqBpqC()()pqD()pq 6.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为() A144 B120 C72 D24 7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() A82B8C8 2 D8 4 8.设等差数列 n a的公差为d,若数列 1 2 na a 为递减数列,则()
3、A0dB0dC 1 0a dD 1 0a d 9.将函数3sin(2) 3 yx的图象向右平移 2 个单位长度,所得图象对应的函数() A在区间 7 , 12 12 上单调递减 B在区间 7 , 12 12 上单调递增 C在区间, 63 上单调递减 D在区间, 63 上单调递增 10.已知点( 2,3)A在抛物线C: 2 2ypx的准线上,学科网过点A 的直线与C 在第一象 限相切于点B,记 C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为() A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 3 11.当 2,1x时,不等式 32 430axxx恒成立,则实数a 的取值范围是() A 5, 3B 9 6, 8
4、 C 6, 2D4, 12.已知定义在0,1上的函数( )f x满足: (0)(1)0ff; 对所有,0,1x y,且x y,有 1 |( )( ) | 2 f xf yxy. 若对所有,0,1x y,|( )( ) |f xfyk,则 k 的最小值为() A 1 2 B 1 4 C 1 2 D 1 8 第卷(共 90 分) 二、填空题(每题5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.执行右侧的程序框图,若输入9x,则输出y. 14.正方形的四个顶点( 1, 1),(1, 1),(1,1),( 1,1)ABCD分别在抛物线 2 yx和 2 yx 上,如图所示,若将一个质点随机投入正
5、方形ABCD中, 则质点落在阴影 区域的概率是. 15.已知椭圆C: 22 1 94 xy ,点 M 与 C 的焦点不重合,若M 关于 C 的焦点的对称点分别 为 A,B,线段 MN 的中点在C 上,则|ANBN. 16.对于0c,当非零实数a, b 满足 22 4240aabbc,且使| 2|ab最大时, 345 abc 的最小值为. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 .) 17. (本小题满分12 分) 在ABC中,内角A,B,C 的对边 a,b,c,且ac,已知2BABC, 1 cos 3 B, 3b,求: (1)a 和 c 的值;
6、 (2)cos()BC的值 . 18. (本小题满分12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示: 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3 天里,有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低 于 50 个的概率; (2)用 X表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数,求随机变量X的分布列,期望 ()E X及方差()D X. 19. (本小题满分12 分) 如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且2ABBCBD, 0 120ABCDBC,E、F 分别为 AC、DC 的中点 . (1
7、)求证:EFBC; (2)求二面角EBFC的正弦值 . 20. (本小题满分12 分) 圆 22 4xy的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时, 切点为 P(如图),双曲线 22 1 22 :1 xy C ab 过点 P且离心率为3. (1)求 1 C的方程; (2)椭圆 2 C过点 P 且与 1 C有相同的焦点,直线l过 2 C的右焦点且与 2 C交于 A,B 两点, 若以线段 AB 为直径的圆心过点P,求l的方程 . 21. (本小题满分12 分) 已知函数 8 ( )(cos)(2 )(sin1) 3 f xxxxx, 2 ( )3()cos4(1 s
8、in )ln(3) x g xxxx. 证明: (1)存在唯一 0 (0,) 2 x,使 0 ()0f x; (2)存在唯一 1 (, ) 2 x,使 1 ()0g x,且对( 1)中的 x0有 01 xx. 请考生在第22、 23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分10 分)选修4-1 :几何证明选讲 如图, EP交圆于 E、C两点, PD切圆于 D,G为 CE上一点且 PGPD,连接 DG 并延长交 圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为F. (1)求证: AB 为圆的直径;
9、 (2)若 AC=BD ,求证: AB=ED. 23. (本小题满分10 分)选修4-4 :坐标系与参数方程 将圆 22 1xy上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2 倍,得曲线C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线: 220lxy与 C 的交点为 12 ,P P,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐 标建立极坐标系,求过线段 12 PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 24. (本小题满分10 分)选修4-5 :不等式选讲 设函数( )2 |1|1f xxx, 2 ( )1681g xxx,记( )1f x的解集为M,( )4g x 的解集为 N. (1)求 M; (2)
10、当xMN时,证明: 221 ( )( ) 4 x f xx f x. 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学答案 1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B 13. 29 9 C14. 2 3 15. 12 16. 2 17. ()由2BA BC得,cos2c aB,又 1 cos 3 B,所以 ac=6. 由余弦定理,得 222 2cosacbacB. 又 b=3,所以 22 92213ac. 解 22 6 13 ac ac ,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. 因为 ac, a=3
11、, c=2. ()在ABC中, 22122 sin1cos1( ). 33 BB 由正弦定理,得 2 2 24 2 sinsin 339 c CB b ,又因为abc,所以 C 为锐角, 因此 224 27 cos1sin1() 99 CC. 于是cos()coscossinsinBCBCBC= 1 72 24 223 3 93927 . 18.()设 1 A表示事件“日销售量不低于100 个” , 2 A表示事件“日销售量低于50 个” ,B 表示事件“在未来连续3 天里有连续2 天日销售量不低于100 个且另一天的日销售量低于 50 个” .因此 1 ()(0.0060.0040.002)
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