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1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合 适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 专项强化训练 ( 三) 数列的综合应用 一、选择题 1. 设an,bn 分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1, 则下列结 论正确的是 ( ) A.a2b2B.a3b5D.a6b6 【解析】 选 A.设an的公差为 d,bn的公比为 q, 由题可得 d=-1,q=, 于是 a2=3b2=2, 故选 A. 【加固训练】 若数列 x,a1,a2,y 成等差数列 ,x,b1,b2,y 成等比数列 , 则 的取值范围是. 【解 析 】由等 差 数列与 等 比
2、数 列 的 性质得所 以 =2+ + . 当 x,y 同号时 , + 2; 当 x,y 异号时 , + -2. 所以的取值范围为 (- ,0 4,+ ). 答案: (- ,0 4,+ ) 2. 已知数列 an,bn满足 a1=1, 且 an,an+1是函数 f(x)=x 2-b nx+2 n 的两个 零点, 则 b10等于( ) A.24 B.32 C.48 D.64 【解析】 选 D.依题意有 anan+1=2 n, 所以 an+1an+2=2 n+1.两式相除得 =2, 所以 a1,a3,a5, 成等比数列 ,a2,a4,a6, 也成等比数列 . 而 a1=1,a2=2, 所以 a10=2
3、2 4=32,a 11=12 5=32. 又因为 an+an+1=bn, 所以 b10=a10+a11=64. 3. 设an(n N * )是等差数列 ,Sn是其前 n 项的和 , 且 S5S8, 则下 列结论错误的是 ( ) A.dS5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 【解析】 选 C.因为an是等差数列 , 所以 Sn= n 2+ n. 因为 S5S8, 所以 Sn关于 n 的二次函数开口向下 , 对称轴为 n=6.5, 所以 d0 时, 若 x=n,n N * ,则 f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n; 若 x 不是整数 , 则 f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)
4、+x+1,其中x 代表 x 的整数部分 , 由 f(x)=x得 f(x-x-1)=x-x-1,其中-10,y0), 已知数列 an满足:an=(n N *), 若对任意正整数 n, 都有 a nak(k N *)成立, 则 a k的值为 ( ) A.B.2 C.1 D.4 【解析】 选 A.an=,=,2n 2-(n+1)2=n2-2n-1, 只有当 n=1,2 时,2n 2(n+1)2 ,即当 n3 时,an+1an, 故数 列an 中的最小项是 a1,a2,a3中的较小者 ,a1=2,a2=1,a3= , 故 ak的值为 . 5. 气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪, 已知这台观测
5、仪从启用的 第一天起连续使用 , 第 n 天的维修保养费为(n N *) 元, 使用它直至 报废最合算 (所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少), 一共使用了( ) A.600 天B.800 天 C.1000 天D.1200 天 【解析】 选 B.由第 n 天的维修保养费为(nN *) 元, 可以得出观测 仪的整个耗资费用 , 由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的 值. 设一共使用了 n 天, 则使用 n 天的平均耗资为 =+, 当且仅当=时取得最小值 , 此时 n=800,故选 B. 【方法技巧】 建模解数列问题 (1) 分析题意 , 将文字语言转化为数学语言, 找出相关量
6、之间的关系 . (2) 构建数学模型 , 将实际问题抽象成数学问题, 明确是等差数列问题、 等比数列问题 , 是求和还是求项 , 还是其他数学问题 . (3) 通过建立的关系求出相关量. 【加固训练】 植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植 一棵, 相邻两棵树相距 10米, 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 现将树坑从 1 到 20 依次编号 , 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗 所走的路程总和最小 , 树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.1 和 20 B.9 和 10 C.9 和 11 D.10 和 11 【解析】 选 D.设树苗放在第 i 个树坑旁边 (如
7、图所示 ) 则各个树坑到第i 个树坑的距离的和是 S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i) =10+=10(i 2-21i+210). 所以当 i=10 或 11 时,S 有最小值 . 二、填空题 6.(2015 镇江模拟 )设曲线 y=x n+1(n N*) 在点(1,1) 处的切线与 x 轴的 交点的横坐标为 xn, 令 an=lg xn, 则 a1+a2+a99的值为. 【解析】 因为 y=x n+1(nN*), 所以 y=(n+1)xn(n N* ), 所以 y| x=1=n+1, 所以在点 (1,1) 处的切线方程为y-1=(n+1)(
8、x-1),即(n+1)x-y-n=0,当 y=0 时,x=, 所以 xn=, 所以 an=lgx n=lg=lg n-lg(n+1), 所以 a1+a2+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg99-lg100) =lg1-lg100 =-2. 答案: -2 7. 某厂生产微机 , 原计划第一季度每月增产台数相同, 在生产过程中 , 实际二月份比原计划多生产10 台, 三月份比原计划多生产25 台, 这样 三个月产量成等比数列, 而第三个月的产量比原计划第一季度总产量 的一半少 10 台,则该厂第一季度实际生产微机台. 【解析】原计划第一季度三个月分别生产a1
9、,a1+d,a1+2d台微机 , 现在实 际上生产了 a1,a1+d+10,a1+2d+25台. 由题意得 2 1 1 d20d5a1000, ad70, 解 得 1 d10, a80, 故 第 一季度 实 际生 产微机 台 数 是 3a1+3d+35=305. 答案: 305 8. 数列an 的前 n 项和为 Sn, 若数列an的各项按如下规律排列 : , , , , , , , , , , , , , 有如下运算和结论 : a24= ; 数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a 7+a8+a9+a10, 是等比数列 ; 数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10
10、, 的前 n 项和为 Tn=; 若存在正整数 k, 使 Sk2时,|a n|=an=3n-7, 此时这个数列从第三项起是一个公差为3 的等 差数列, 故 Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an =(4+1)+2+5+ +(3n-7) =5+=-+10. 所以 Sn=这个式子中 n=2 时两段函数值相等 , 故 可以写为 Sn= 方法二: 设数列 an的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=-. 由于 n2 时,|an|=-an, 所以此时 Sn=-Tn=-+; 当 n2时, Sn=(-a 1-a2)+(a3+a4+an) =-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=-+10. 所以 Sn=这个式子
11、中 n=2 时两段函数值相等 , 故可以写为 Sn= 11. 已知an 是由正数组成的数列,a1=1 且点(,an+1)(n N * ) 在函数 y=x 2+1的图象上 . (1) 求数列 an的通项公式 . (2) 若数列 bn满足 b1=1,bn+1=bn+ n a 2,求证:b nbn+2cn成立. 【解题提示】 【解析】 (1) 由已知 , 得 Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1, 所以 an+2-an+1=1(n1). 又 a2-a1=1, 所以数列 an 是以 a1=2为首项 ,1 为公差的等差数列 . 所以 an=n+1. 又 bn+1+2=4(bn+2), 所以bn+2
12、是以 4 为首项,4 为公比的等比数列 . 所以 bn=4 n-2. (2) 由(1) 知 an=n+1,bn=4 n-2, 则 cn=4 n +(-1) n-1 2 n+1, 要使 cn+1cn成立, 需 cn+1-cn=4 n+1-4n+(-1)n2n+2-(-1)n-1 2 n+10 恒成 立, 即 34 n-3 (-1)n-1 2 n+10恒成立 , 所以(-1) n-1 -2 n-1 恒成立 ,当且仅当 n=2 时,-2 n-1 有最大值 -2, 所以-2. 结合可知 -2cn成立. 【误区警示】 遇到式子中含有 (-1) n 的问题时要注意分n 为奇数与偶数 两种情况进行讨论 ,
13、本题的易错点就是忘掉对n 的奇偶性的讨论 . 【加固训练】 已知等差数列 an 的公差为 2, 其前 n 项和 Sn=pn 2+2n(n N *). (1) 求 p 的值及 an. (2) 若 bn=, 记数列bn 的前 n 项和为 Tn,求使 Tn成立的最小正 整数 n 的值. 【解题提示】 【解析】 (1) 方法一 : 因为an是公差为 2 的等差数列 , 所以 Sn=na1+d=na1+2=n 2+(a 1-1)n. 又由已知 Sn=pn 2+2n, 所以 p=1,a1-1=2, 所以 a1=3, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以 p=1,an=2n+1. 方法二: 由已
14、知 a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即 a1+a2=4p+4, 所以 a2=3p+2. 又此等差数列的公差为2, 所以 a2-a1=2, 所以 2p=2, 所以 p=1, 所以 a1=p+2=3, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以 p=1,an=2n+1. 方法三: 由已知 a1=S1=p+2, 所以当 n2 时,an=Sn-Sn-1=pn 2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2, 所以 a2=3p+2, 由已知 a2-a1=2, 所以 2p=2,所以 p=1, 所以 a1=p+2=3,所以 an=a1+(n-1)d=2n+1, 所以 p=1,an=2n+
15、1. (2) 由(1) 知 bn=-, 所以 Tn=b1+b2+b3+bn =+=1-=. 因为 Tn, 所以, 所以 20n18n+9,即 n , 又 nN *, 所以使 T n成立的最小正整数n=5. 13. 某工厂年初用 98 万元购买一台新设备 , 第一年设备维修及燃料、 动 力消耗( 称为设备的低劣化 )的总费用 12万元, 以后每年都增加 4 万元, 新设备每年可给工厂收益50 万元. (1) 工厂第几年开始获利 ? (2) 若干年后 , 该工厂有两种处理该设备的方案: 年平均获利最大时, 以 26 万元出售该设备 ;总纯收入获利最大时 , 以 8 万元出售该设备 . 问哪种方案对
16、工厂合算 ? 【解析】 (1) 由题设每年费用是以12 为首项 ,4 为公差的等差数列 , 设第 n 年时累计的纯收入为f(n). 所以 f(n)=50n-12+16+(4n+8)-98 =40n-2n 2-98. 获利即为 :f(n)0,所以40n-2n 2-980 ?n 2-20n+490 ? 10-n10+, 又 nN,所以 n=3,4,5, ,17. 所以当 n=3时, 即第 3 年开始获利 . (2) 年平均收入 =40-2(n+)40-4=12(万元), 当且仅当 n=, 即 n=7 时等号成立 . 即年平均收益最大时 , 总收益为 :12 7+26=110(万元), 此时 n=7
17、. f(n)=-2(n-10) 2+102, 所以当 n=10时,f(n) max=102, 总收益为 102+8=110万元, 此时 n=10. 比较两种方案 , 总收益均为 110万元, 但第一种方案需 7 年, 第二种方案 需 10 年, 故选择第一种方案 . 【加固训练】 有一种零存整取的储蓄项目, 在每月某日存入一笔相同金 额, 这是零存 ; 到期可以提出全部本金和利息, 这是整取 , 它的本利和公 式如下: 本利和=每期存入的金额 存期+ 存期 (存期+1)利率. (1) 试解释这个本利和公式 . (2) 若每月初存入 100 元, 月利率为 5.1%,到第 12 个月底的本利和是多 少? (3) 若每月初存入一笔金额 , 月利率是 5.1%,希望到第 12 个月底取得本 利和 2000 元, 那么每月初应存入多少 ? 【解析】 (1) 设每期存入的金额为A,每期利率为 P,存期为 n, 则各期的 利息之和为 nAP+(n-1)AP+2AP+AP=, 所以本利和为 nA+ =A( 元). (2) 到第 12 个月底的本利和为 100 =1597.8( 元). (3) 设每月初应存入 x 元, 则有 x =2000, 解得 x125.2. 所以每月初应存入125.2 元. 关闭 Word文档返回原板块
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