【考前三个月】高考数学必考题型过关练:专题2第5练(含答案).pdf
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1、第 5 练如何用好基本不等式 题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题 例 1(1)设正实数x,y,z 满足 x23xy4y2z0,则当 z xy取得最小值时, x2yz 的最大 值为 () A0 B.9 8 C2 D. 9 4 (2)函数 y x 1 x3x1 的最大值为 _ 破题切入点(1)利用基本不等式确定 z xy取得最小值时 x,y,z 之间的关系,进而可求得x2y z 的最大值 (2)可采用换元法,将函数解析式进行变形,利用基本不等式求解最值 答案(1)C(2) 1 5 解析(1) z xy x 23xy4y2 xy x y 4y x 32 x y 4y x 31, 当且仅当x2
2、y 时等号成立, 因此 z4y 26y24y22y2, 所以 x2yz4y2y2 2(y1)22 2.故选 C. (2)令 tx 1 0,则 xt 2 1, 所以 y t t 21 3t t t 2t4. 当 t 0,即 x1 时, y0; 当 t0,即 x1 时, y 1 t 4 t 1 , 因为 t 4 t 2 44(当且仅当t2 时取等号 ), 所以 y 1 t4 t 1 1 5, 即 y 的最大值为 1 5(当 t 2,即 x5 时 y 取得最大值 ) 题型二利用基本不等式求最值的综合性问题 例 2 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点 P(1,1 2)到抛物线 C:y 22px(p0
3、)的准 线的距离为 5 4.点 M(t,1)是 C 上的定点, A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 的 中点 Q(m, n)在直线 OM 上 (1)求曲线 C 的方程及t 的值; (2)记 d |AB| 14m 2,求 d 的最大值 破题切入点(1)依条件,构建关于p,t 的方程; (2)建立直线AB 的斜率 k 与线段 AB 中点坐标间的关系,并表示弦AB 的长度,运用函数的性 质或基本不等式求d 的最大值 解(1)y22px(p0)的准线 x p 2, 1 (p 2) 5 4,p 1 2, 抛物线 C 的方程为y2 x. 又点 M(t,1)在曲线 C 上, t1. (2)由(1)知,
4、点 M(1,1),从而 nm,即点 Q(m,m), 依题意,直线AB 的斜率存在,且不为0, 设直线 AB 的斜率为k(k 0) 且 A(x1,y1),B(x2.y2), 由 y 2 1x1, y 2 2x2, 得(y1y2)(y1 y2)x1x2, 故 k 2m 1, 所以直线AB 的方程为ym 1 2m(xm), 即 x2my2m2m0. 由 x2my2m 2m0, y 2x 消去 x, 整理得 y2 2my2m2 m 0, 所以 4m4m20,y1y22m, y1y22m2m. 从而 |AB|1 1 k 2 |y1y2| 14m2 4m4m2 214m 2 mm 2 d |AB| 14m
5、 22 m 1 m m(1m)1, 当且仅当m1m,即 m 1 2时,上式等号成立 又 m 1 2满足 4m4m 20,d 的最大值为 1. 总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时, 注意观察其是否具有“和 为定值 ”或“ 积为定值 ”的结构特点在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用, 而是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式求出最值 (2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”, 所谓 “一正 ” 是指正数, “二定 ”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等 ”是指满足等 号成立的条件若连续
6、使用基本不等式求最值,必须保证两次等号成立的条件一致,否则最 值就取不到 1小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(a a 2a2 ab 0, va. 2若函数f(x)x 1 x2 (x2)在 xa 处取最小值,则a 等于 () A12 B13 C3 D4 答案C 解析x2,f(x)x 1 x2x2 1 x22 2 x2 1 x224, 当且仅当x2 1 x2,即 x3 时等号成立,即 a3,f(x)min4. 3设 a0,b0,若3是 3 a 与 3b的等比中项,则 1 a 1 b的最小值为 ( ) A8 B4 C1 D.1 4 答案B 解析因为 3 a 3b3,所以 ab1. 1 a
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