【考前三个月】高考数学必考题型过关练:专题3第10练(含答案).pdf
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1、第 10 练化解抽象函数快捷有效的几个途径 题型一与抽象函数有关的函数性质问题 例 1已知 f(x)是定义在R 上的偶函数,且以2 为周期,则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x) 为3,4上的减函数”的() A既不充分也不必要的条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件 D充要条件 破题切入点周期函数的概念,同时考查单调性及充要条件 答案D 解析 f(x)在 R 上是偶函数, f(x)的图象关于y 轴对称 f(x)为0,1上的增函数, f(x)为1,0上的减函数 又f(x)的周期为2, f(x)为区间 14,043,4上的减函数 f(x)为3,4 上的减函数,且f(x)的周期为2,
2、 f(x)为1,0上的减函数 又f(x)在 R 上是偶函数, f(x)为0,1上的增函数 由 知“f(x)为0,1上的增函数 ”是“ f(x)为3,4 上的减函数 ”的充要条件 题型二与抽象函数有关的函数零点问题 例 2设函数 f(x)在 R 上满足 f(2x)f(2x),f(7 x)f(7x),且在闭区间 0,7上,只有 f(1) f(3)0,则方程f(x)0 在闭区间 2 011,2 011上的根的个数为() A802 B803 C804 D805 破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识 答案D 解析f(7 x)f(7x)f(2 (5 x)f(2 (5x)f(3 x), 即 f(x10)f
3、(x),所以函数的周期为10, 且对称轴为x2,x7,在 0,10内, f(1) f(3)f(11)f(13), 所以一个周期内只有2 个零点, 在0,2 011内 2 011201101 有 20121403 个, 在2 011,0内 2 011201(10)1, 有 201 个周期且f(1)0,此时有2012402 个零点,合计805,故选 D. 题型三与抽象函数有关的新概念问题 例 3设 V 是全体平面向量构成的集合若映射f:VR 满足: 对任意向量a (x1,y1)V,b(x2,y2)V,以及任意 R,均有 f( a (1 )b)f(a)(1 )f(b), 则称映射f 具有性质 P,
4、现给出如下映射: f1:V R, f1(m)xy,m(x, y) V; f2:V R, f2(m)x2y,m(x,y)V; f3:V R, f3(m)xy1,m(x,y)V. 其中,具有性质P 的映射的序号为_(写出所有具有性质P 的映射的序号 ) 破题切入点准确把握性质P 的含义 答案 解析a(x1,y1),b(x2,y2), a (1 )b(x 1(1 )x2,y1(1 )y2) 对于 ,f1(m)xy, f( a(1 )b)x 1(1 )x2y1(1 ) y2 (x1y1)(1 )(x2 y2), 而 f(a)(1 )f(b) (x1y1) (1 )(x2y2), f( a(1 )b)f
5、(a)(1 )f(b), 具有性质P. 对于 ,f2(m)x2y,设 a(0,0),b(1,2), a(1 )b(1 ,2(1 ),f( a(1 )b) (1 ) 22(1 )24 3, 而 f(a)(1 )f(b) (020)(1 )(1 22) 3(1 ), 又 是任意实数, f( a(1 )b)f(a)(1 )f(b), 故不具有性质P. 对于 ,f3(m)x y1, f( a (1 )b)x1(1 )x2y1(1 )y21 (x1y1)(1 )(x2y2)1, 又 f(a)(1 )f(b) (x1y11)(1 )(x2y21) (x1y1)(1 )(x2y2) (1 ) (x1y1)(
6、1 )(x2y2)1, f( a(1 )b)f(a)(1 )f(b) 具有性质P. 综上,具有性质P 的映射的序号为 . 总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法,因此学会赋值、判断 并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关,把握好函数的性质 (2)解答抽象函数问题时,学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致 出错,要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数,因此掌握这类 函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法 1(2014 浙大附中模拟 )设 f(x)为偶函数, 对于任意的x0,都有 f(2x) 2f(2x),已知 f( 1)4,那
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