【考前三个月】高考数学必考题型过关练:专题5第20练(含答案).pdf
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1、第 20 练常考的递推公式问题的破解方略 题型一由相邻两项关系式求通项公式 例 1已知正项数列an满足 a11, (n 2)a 2 n1 (n1)a 2 nanan10, 则它的通项公式为 () Aan 1 n 1 Ban 2 n1 Cann1 2 Dann 破题切入点对条件因式分解 答案B 解析由(n2)a2 n1 (n 1)a 2 nanan10, 得(n2)an1(n 1)an(an1an)0, 又 an0,所以 (n2)an1(n1)an, 即 an1 an n1 n2,a n1 n1 n2a n, 所以 an n n1 n1 n 2 3a 1 2 n 1a 1(n2), 所以 an
2、2 n1(n1 适合 ), 于是所求通项公式为an 2 n1. 题型二已知多项间的递推关系求通项公式 例 2在数列 an中, a11, a2 2,若 an22an1 an 2,则 an等于 () A. 1 5n 32 5n 6 5 Bn 35n29n 4 Cn 22n2 D2n25n4 破题切入点选择题的特点,验证即可 答案C 解析当 n1 时,由题意,得a3 2a2a1222 125. 代入各选项检验,A 选项中, a31 53 32 53 6 5 27 5 5,故排除; B 选项中, a3 3 3 532934 5; C 选项中, a3 3 2 2325; D 选项中, a323 2534
3、 75,故排除 当 n2 时,由题意,得a42a3a22252210. 代入 B,C 两项检验, B 选项中, a44 35 429441610,不符合,故排除; C 选项中, a4 4 2 24210,符合,故选 C. 题型三构造法求通项公式 例 3(1)已知 a11,an12an1,求 an; (2)已知 a11, an1 an an1,求 a n. 破题切入点观察条件,联想学过的数列来构造 解(1)由 an12an 1 得 an112(an1), 又 a1120, 于是可知 an1为以 2 为首项 2 为公比的等比数列 即 an12n,an2n1, 所求通项公式为an2 n1. (2)由
4、 an1 an an1 得 1 an1 1 an 1(常数 ), 又 1 a11, 1 an为 1 为首项, 1 为公差的等差数列, 1 ann,从而 a n 1 n, 即所求通项公式为an 1 n. 总结提高求数列通项公式常见的方法: (1)观察法:利用递推关系写出前n 项,根据前n 项的特点观察,归纳猜想出an的表达式 (仅限 客观题 ) (2)利用前 n 项和与通项的关系an S1, n1, SnSn1, n2. (3)在已知数列 an 中,满足 an1anf(n)且 f(1)f(2) f(n)可求, 则可用累加法求数列的 通项 an. (4)在已知数列 an 中,满足 an1 an f
5、(n)且 f(1) f(2) f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an. (5)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列) 1在数列 an中, a11,anan1an1(1) n(n2,n N* ),则 a3 a5的值是 ( ) A. 15 16 B.15 8 C.3 4 D.3 8 答案C 解析由已知得a21(1)22, a3 a2a2(1)3, a3 1 2, 1 2a 4 1 2(1) 4,a 43, 3a5 3(1)5,a5 2 3, a3 a5 1 2 3 2 3 4. 2学校餐厅每天供应500 名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择调查资料表明, 凡是在星期一选A
6、 种菜的,下星期一会有20%改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有30% 改选 A 种菜用an,bn分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的人数,如果a1 300,则 a10为() A350 B300 C400 D450 答案B 解析依题意,得 an14 5an 3 10bn, anbn500, 消去 bn, 得 an11 2an150. 由 a1300,得 a2300; 由 a2300,得 a3300; 从而得 a10300,故选 B. 3已知 f(x)log2 x 1x1,a nf(1 n)f( 2 n) f( n1 n ),n 为正整数,则a2 015等于 ( )
7、A2 014 B2 009 C1 005 D1 006 答案A 解析因为 f(x) log2 x 1x1, 所以 f(x)f(1 x) log2 x 1x1log 21x x 12. 所以 f(1 n)f( n1 n ) 2, f(2 n) f( n2 n )2, f(n1 n )f(1 n)2, 由倒序相加,得2an2(n1), an n1, 所以 a2 0152 015 12 014,故选 A. 4在正项数列an中, a12,an12an35 n,则数列 a n的通项公式为_ 答案an5n32n 1 解析在递推公式an12an35n的两边同时除以5n 1, 得 an1 5 n12 5 an
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