【考前三个月】高考数学必考题型过关练:专题7第27练(含答案).pdf
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1、第 27 练与直线和圆有关的最值问题 题型一有关定直线、定圆的最值问题 例 1已知 x,y 满足 x2y50,则 (x1)2 (y 1)2的最小值为 () A. 4 5 B.2 5 C.2 5 5 D. 10 5 破题切入点直接用几何意义 距离的平方来解决,另外还可以将x2y50 改写成 x 52y,利用二次函数法来解决 答案A 解析方法一(x1) 2(y1)2 表示点 P(x,y)到点 Q(1,1)的距离的平方 由已知可知点P 在直线 l:x2y50 上, 所以 |PQ|的最小值为点Q 到直线 l 的距离, 即 d |12 15| 12 2 2 5 5 , 所以 (x1)2 (y 1)2的最
2、小值为d24 5.故选 A. 方法二由 x2y50,得 x52y, 代入 (x1)2 (y 1)2并整理可得 (52y1) 2 (y 1)24(y2)2(y1)2 5y2 18y17 5(y 9 5) 24 5, 所以可得最小值为 4 5. 题型二有关动点、动直线、动圆的最值问题 例 2直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和y 轴的正方向于A、B 两点当 |OA|OB|最 小时, O 为坐标原点,求l 的方程 破题切入点设出直线方程,将|OA|OB|表示出来,利用基本不等式求最值 解依题意, l 的斜率存在,且斜率为负, 设直线 l 的斜率为k,则 y4k(x1)(k0)与圆
3、x2y24 交于不同的两点A, B,O 是坐标原点,且有|OA OB | 3 3 |AB |,那么 k 的取值范围是 () A(3, ) B2, ) C2, 2 2) D 3,22) 破题切入点结合图形分类讨论 答案C 解析当|OA OB | 3 3 |AB |时,O, A, B 三点为等腰三角形的三个顶点,其中 OA OB, AOB 120 , 从而圆心O 到直线 xyk0(k0)的距离为1, 此时 k2; 当 k2时, |OA OB | 3 3 |AB |,又直线与圆x 2y24 存在两交点,故 k22,综上, k 的取值范围是 2,22),故选 C. 总结提高(1)主要类型: 圆外一点与
4、圆上任一点间距离的最值 直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值 直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线段长的最小值问题 两圆相离,两圆上点的距离的最值 已知圆上的动点Q(x,y),求与点 Q 的坐标有关的式子的最值,如求axby,axby cxdy等的最 值,转化为直线与圆的位置关系 (2)解题思路: 数形结合法:一般结合待求距离或式子的几何意义,数形结合转化为直线与直线或直线与 圆的位置关系求解 函数法:引入变量构建函数,转化为函数的最值求解 (3)注意事项: 准确理解待求量的几何意义,准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系; 涉及切线段
5、长的最值时,要注意切线,圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线 组成一个直角三角形 1若动点A,B 分别在直线l1:x y70 和 l2:xy 50 上移动,则 AB 的中点 M 到原 点的距离的最小值为() A3 2 B2 2 C3 3 D42 答案A 解析依题意知, AB 的中点 M 的集合是与直线l1:xy7 0 和 l2:xy5 0 距离都相等 的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M 所在直线的方程为l:x y m 0,根据平行线间的距离公式得 |m7| 2 |m5| 2 ? |m 7| |m5|? m 6, 即 l: xy60,根据点到直线的距离公式, 得
6、 M 到原点的距离的最小值为 |6| 2 32. 2已知点 M 是直线 3x4y20 上的动点, 点 N 为圆 (x1) 2(y1)21 上的动点, 则|MN| 的最小值是 () A. 9 5 B 1 C.4 5 D. 13 5 答案C 解析圆心 (1, 1)到点 M 的距离的最小值为点(1, 1)到直线的距离d| 342| 5 9 5, 故点 N 到点 M 的距离的最小值为d1 4 5. 3已知 P 是直线 l:3x 4y110 上的动点, PA,PB 是圆 x 2 y2 2x2y10 的两条切 线, C 是圆心,那么四边形P ACB 面积的最小值是() A.2 B 2 2 C.3 D2 3
7、 答案C 解析如图所示,圆的标准方程为(x1) 2 (y 1)21, 圆心为 C(1,1),半径为r1. 根据对称性可知四边形P ACB 面积等于 2SAPC21 2|PA|r|P A|, 故|PA|最小时,四边形P ACB 的面积最小, 由于 |PA|PC|21, 故|PC|最小时, |PA|最小, 此时,直线CP 垂直于直线l:3x4y110, 故|PC|的最小值为圆心C 到直线 l:3x 4y110 的距离 d |3411| 3 242 10 5 2, 所以 |PA|PC|212213. 故四边形PACB 面积的最小值为3. 4(2013 江西 )过点 (2,0)引直线 l 与曲线 y1
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