【考前三个月】高考数学必考题型过关练:专题7第30练(含答案).pdf
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1、第 30 练与抛物线相关的热点问题 题型一抛物线的定义及其应用 例 1设 P 是抛物线y24x 上的一动点, (1)求点 P 到 A(1,1)的距离与点P 到直线 x 1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),抛物线的焦点为F,求 |PB|PF|的最小值 破题切入点画出图形,结合抛物线的定义,转化为共线问题 解(1)由于 A(1,1),F(1,0),P 是抛物线上的任意一点,则|AP|PF|AF|2215, 从而知点P 到 A(1,1)的距离与点P 到 F(1,0)的距离之和的最小值为5, 所以点 P 到 A(1,1) 的距离与P 到直线 x 1 的距离之和的最小值也为5. (2)如图
2、所示,自点B 作 BQ 垂直于抛物线的准线于点Q,交抛物线于点P1, 此时 |P1Q| |P1F|,那么 |PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4,即 |PB|PF|的最 小值为 4. 题型二抛物线的标准方程及性质 例 2(1)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x 28y 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,以F 为圆心、 |FM | 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y0的取值范围是() A(0,2) B0,2 C(2, ) D 2, ) (2)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水 面宽 4 m水位下降1 m 后,水面宽 _ m. 破题切入点准确求出抛物线方程结合其简
3、单几何性质作答 答案(1)C(2)26 解析(1)x28y,焦点 F 的坐标为 (0,2),准线方程为y 2.由抛物线的定义知|FM |y0 2. 以 F 为圆心、 |FM|为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y02)2. 由于以 F 为圆心、 |FM |为半径的圆与准线相交, 又圆心 F 到准线的距离为4,故 42. (2)建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2 2py(p0), 则 A(2, 2),将其坐标代入x2 2py 得 p1. x2 2y. 水位下降1 m,得 D(x0, 3)(x00), 将其坐标代入x 2 2y,得 x2 06, x06.水面宽 |CD|26 m.
4、 题型三直线和抛物线的位置关系 例 3已知抛物线C:y22px(p0)过点 A(1, 2) (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点 )的直线 l,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与 l 的距离等于 5 5 ?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由 破题切入点(1)将点代入易求方程 (2)假设存在,根据条件求出,注意验证 解(1)将 (1, 2)代入 y22px,得 (2)22p 1, 所以 p2. 故所求的抛物线C 的方程为y 24x, 其准线方程为x 1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y 2xt. 由 y 2x
5、t, y 24x, 得 y 22y2t0. 因为直线l 与抛物线 C 有公共点, 所以 48t0,解得 t1 2. 由直线 OA 到 l 的距离 d 5 5 , 可得 |t| 5 1 5 , 解得 t 1. 又因为 1? 1 2, ), 1 1 2, ), 所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x y10. 总结提高(1)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴且离心率 为 e1,所以与椭圆、双曲线相比,它有许多特殊性质,可以借助几何知识来解决 (2)抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系,将抛物线y 2 2px 关于 y 轴、直线 x y0 与 x
6、y0 对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线 y 22px 绕原点旋转 90 或 180 也可以得到抛物线的其他三种形式,这是它们的内在联系 (3)抛物线的焦点弦: 设过抛物线y 22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1y2 p2,x1x2 p 2 4 ; 若直线 AB 的倾斜角为 ,则 |AB| 2p sin 2; 若 F 为抛物线焦点,则有 1 |AF| 1 |BF| 2 p. 1已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的点P(m,2)到焦点的距离为4,则 m 的值为 () A4 B 2 C4 或 4 D12 或 2 答案
7、C 解析设标准方程为x2 2py(p0), 由定义知P 到准线的距离为4,故 p 2 24,所以 p4, 则方程为x 2 8y,代入 P 点坐标得 m 4. 2若抛物线y 28x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点F,M(3,3)且与 l 相切的圆共有 () A0 个B1 个C2 个D4 个 答案B 解析由题意得F(2,0),l: x 2, 线段 MF 的垂直平分线方程为y 3 2 32 30(x 5 2), 即 x3y70,设圆的圆心坐标为(a,b), 则圆心在x3y 70 上,故 a 3b7 0,a73b, 由题意得 |a(2)|a2 2b2, 即 b28a8(73b),即 b224b56
8、 0. 又 b0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个 3已知抛物线y 22px(p0)的焦点为 F,P、Q 是抛物线上的两个点,若PQF 是边长为2 的 正三角形,则p 的值是 () A2 3 B23 C.3 1 D.31 答案A 解析依题意得F(p 2,0),设 P( y 2 1 2p,y 1),Q( y 2 2 2p,y 2)(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|,得 y 2 1 2p p 2 y 2 2 2p p 2,y 2 1y 2 2,y1 y2.又|PQ| 2,因此 |y1|y2|1,点 P( 1 2p,y1)又点 P 位于该 抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF| 1
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- 考前三个月 考前 三个月 高考 数学 必考 题型 过关 专题 30 答案
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