【考前三个月】高考数学必考题型过关练:专题7第31练(含答案).pdf
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1、第 31 练直线和圆锥曲线的位置关系问题 题型一直线和椭圆的位置关系 例 1如图所示,椭圆C1: x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的离心率为 2 2 ,x 轴被曲线 C2:yx 2b 截得的线段长等于 C1的短轴长 C2与 y 轴的交点为M,过 坐标原点O 的直线l 与 C2相交于点A,B,直线 MA,MB 分别与 C1相 交于点 D,E. (1)求 C1,C2的方程; (2)求证: MAMB; (3)记 MAB, MDE 的面积分别为S1,S2,若 S1 S2 ,求 的取值范围 破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程 (2)设出直线 AB 和曲线 C2联立,利用坐
2、标形式的向量证明 (3)将 S1和 S2分别表示出来,利用基本不等式求最值 (1)解由题意,知 c a 2 2 , 所以 a22b2. 又 2b2b,得 b1. 所以曲线C2的方程: yx21,椭圆 C1的方程: x 2 2 y2 1. (2)证明设直线 AB:ykx,A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,知M(0, 1) 则 ykx, yx 21 ? x 2kx1 0, MA MB (x1,y11)(x2,y21) (k 21)x 1x2k(x1x2) 1 (1k2) k2 10, 所以 MAMB. (3)解设直线 MA 的方程: yk1x1,直线 MB 的方程: yk2x1, 由(
3、2)知 k1k2 1, M(0, 1), 由 yk1x1, yx 21, 解得 x 0, y 1, 或 x k1, y k 2 1 1, 所以 A(k1,k 2 1 1) 同理,可得B(k2,k 2 21) 故 S1 1 2|MA| |MB| 1 2 1k 2 1 1k 2 2|k1|k2|. 由 yk1x1, x 2 2 y2 1, 解得 x0, y 1 或 x 4k1 12k 2 1, y2k 2 11 12k 2 1, 所以 D( 4k1 12k 2 1, 2k 2 1 1 1 2k 2 1) 同理,可得E( 4k2 12k 2 2, 2k 2 21 12k 2 2) 故 S2 1 2|
4、MD| |ME| 1 2 1k 2 1 1k 2 2 |16k1k2| 12k 2 112k 2 2 , S1 S2 1 2k 2 11 2k 2 2 16 52 1 k 2 1k 2 1 16 9 16, 则 的取值范围是 9 16, ) 题型二直线和双曲线的位置关系 例 2已知双曲线C:x2y21 及直线 l:ykx1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O 是坐标原点,且AOB 的面积为2,求实数k 的值 破题切入点(1)联立方程组,利用 0 求出 k 的取值范围 (2)联立方程用根与系数的关系求解 解(1)双曲线
5、 C 与直线 l 有两个不同的交点, 则方程组 x 2y21, y kx1 有两个不同的实数根, 整理得 (1k2)x2 2kx20. 1k 20, 4k 28 1k2 0, 解得2|x2|时, SOABSOADSOBD 1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|; 当 A,B 在双曲线的两支上且x1x2时, SOABSODASOBD 1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|. SOAB 1 2|x1 x2| 2, (x1x2)2(22)2, 即( 2k 1k 2) 2 8 1 k 2 8,解得 k 0或 k 6 2 . 又20,b0)的上焦点为 F,上顶点为A,B 为虚轴的端点,离 心
6、率 e2 3 3 ,且 SABF1 3 2 .抛物线 N 的顶点在坐标原点,焦点为F. (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程; (2)设动直线l 与抛物线 N 相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以 PQ 为直径的圆是否 恒过 y 轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由 破题切入点(1)根据双曲线的性质,用a,c 表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方 程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程 (2)设出点 P 的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q 的坐标,然后根据圆的 性质列出关于点P 的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决 解(1)在
7、双曲线中,ca2b2, 由 e 2 3 3 ,得 a 2b2 a 23 3 , 解得 a3b,故 c2b. 所以 SABF 1 2(ca)b 1 2(2b 3b)b 1 3 2 ,解得 b 1. 所以 a3, c2,其上焦点为F(0,2) 所以双曲线M 的方程为 y 2 3 x21, 抛物线 N 的方程为 x28y. (2)由(1)知抛物线 N 的方程为 y 1 8x 2, 故利用判别式法可得切线l 的斜率方程k 1 4x,抛物线的准线为 y 2. 设 P(x0,y0),则 x00,y0 1 8x 2 0, 且直线 l 的方程为y1 8x 2 01 4x0(xx0), 即 y 1 4x0x 1
8、 8x 2 0. 由 y1 4x0x 1 8x 2 0, y 2, 得 x x 2 0 16 2x0 , y 2. 所以 Q(x 2 0 16 2x0 , 2) 假设存在点R(0,y1),使得以 PQ 为直径的圆恒过该点, 也就是 RP RQ 0 对于满足 y01 8x 2 0(x00)的 x0,y0恒成立 由于 RP (x0,y0y1),RQ (x 2 0 16 2x0 , 2y1), 由RP RQ 0, 得 x0 x 2 016 2x0 (y0y1)(2y1)0, 整理得 x 2 016 2 2y0y0y12y1y2 10, 即(y2 12y18)(2y1)y00,(*) 由于 (*) 式
9、对满足y0 1 8x 2 0(x00)的 x0, y0恒成立, 所以 2y10, y 2 12y180, 解得 y12. 故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点,定点坐标为(0,2) 总结提高直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形 成一定的解题思路,利用数形结合思想来加以解决重点掌握直线与椭圆的位置关系 1已知圆 C:(x1) 2y28,定点 A(1,0),M 为圆上一动点, 点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上, 且满足 AM 2AP ,NP AM 0,点 N 的轨迹为曲线E. (1)求曲线 E 的方程; (2)若直线 y kxk 2 1与(1)中所求
10、点 N 的轨迹 E 交于不同的两点F,H,O 是坐标原点, 且 2 3OF OH 3 4,求 k 2 的取值范围 解(1)如图所示,连接NA. 由AM 2AP ,NP AM 0, 可知 NP 所在直线为线段AM 的垂直平分线, 所以 |NA|NM|, 所以 |NC|NA|NC|NM|2 22|CA|, 所以动点N 的轨迹是以C(1,0),A(1,0)为焦点的椭圆, 且长轴长为2a22,焦距 2c2,即 a2,c1,b1. 故曲线 E 的方程为 x 2 2 y21. (2)设 F(x1, y1),H(x2,y2) 由 x 2 2 y2 1, ykxk 21, 消去 y, 得(2k21)x24kk
11、21x2k20, 8k 20, 由根与系数的关系,得x1 x2 4kk 21 2k 21 , x1x2 2k 2 2k 21, 所以 OF OH x1x2y1y2 x1x2(kx1k21)(kx2k2 1) (k21)x1x2kk21(x1 x2)k21 k 21 2k2 2k 2 14k 2 k 21 2k 21k 21 k 21 2k 2 1. 由 2 3 OF OH 3 4, 得 2 3 k 21 2k 21 3 4, 解得 1 2k 21. 2已知点 P 是圆 O:x 2 y2 9 上的任意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D,动点 Q 满足 DQ 2 3 DP . (1)求动点
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