【考前三个月】高考数学必考题型过关练:第16练(含答案).pdf
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1、第 16 练函数的极值与最值 题型一函数极值与极值点的判断、求解问题 例 1(2013 浙江 )已知 e 为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k 1,2),则 ( ) A当 k1 时, f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时, f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时, f(x)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时, f(x)在 x1 处取到极大值 破题切入点对函数 f(x)求导之后,将k1,2 分别代入讨论 答案C 解析当 k1 时, f(x)e x x1,f(1)0. x 1 不是 f(x)的极值点 当 k2 时, f(x)(x1)(xe xex2) 显然
2、 f(1)0,且 x 在 1 的左边附近f(x)0, f(x)在 x1 处取到极小值故选C. 题型二根据函数的极值来研究函数图象问题 例 2已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则c 等于 () A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 破题切入点结合函数的极值点,作出函数大致图象来解决 答案A 解析y3x23, 当 y0 时, x 1. 则当 x 变化时, y, y 的变化情况如下表: x (, 1) 1(1,1)1(1, ) y y c2c2 当函数图象与x 轴恰有两个公共点时,必有c 20 或 c20,c 2或 c 2. 题型三函数的极值问题 例
3、3已知函数f(x) mx x 2 n(m,nR)在 x 1 处取得极值2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)ln x a x,若对任意的 x1R,总存在 x21,e,使得 g(x2)f(x1)7 2,求实数 a 的取值范围 破题切入点(1)对函数进行求导,结合题中条件列出方程组,解出参数的值 (需验证 ),即可得 到函数的解析式 (2)利用导数讨论函数g(x)的最小值,通过求解不等式得出实数a 的取值范围 解(1)f(x)m x 2 n 2mx2 x 2 n2 mx2mn x 2n2 , 由于 f(x)在 x1 处取得极值2,故 f (1)0,f(1)2, 即 mnm
4、1n 20, m 1 n2, 解得 m4,n1,经检验,此时f(x)在 x1 处取得极值 故 f(x) 4x x 21. (2)由(1)知 f(x)的定义域为R,且 f(x) f(x) 故 f(x)为奇函数, f(0)0. 当 x0 时, f(x)0, f(x) 4 x 1 x 2, 当且仅当x1 时取 “ ” 当 x3 2,不符合题意 综合所述, a 的取值范围为 (,e 题型四函数的最值问题 例 4已知函数f(x) 1 2x 2ln x. (1)求函数 f(x)在区间 1,e上的最大值、最小值; (2)求证:在区间 (1, )上,函数f(x)的图象在函数g(x)2 3x 3 的图象的下方
5、破题切入点(1)f(x)在闭区间 1,e上的最大值、最小值要么在端点处取得,要么在极值点处 取得所以首先要研究f(x)在1,e上的单调性 (2)f(x)的图象在函数g(x) 2 3x 3 的图象的下方,即g(x)f(x)在(1, )上恒大于0. (1)解当 x 1,e时, f(x)x 1 x 0, 所以 f(x)在区间 1, e上为增函数 所以当 x1 时, f(x)取得最小值 1 2; 当 xe 时, f(x)取得最大值 1 2e 21. (2)证明设 h(x)g(x)f(x)2 3x 31 2x 2ln x,x(1, ), 则 h(x)2x2x 1 x 2x 3x21 x x1 2x 2x
6、 1 x . 当 x(1, )时, h(x)0,h(x)在区间 (1, )上为增函数,所以h(x)h(1) 1 60. 所以对于x(1, ),g(x)f(x)成立,即f(x)的图象在g(x)的图象的下方 总结提高(1)准确把握函数极值与最值的概念,极值是函数的局部性质,在所给的区间上极 大值和极小值不一定唯一,且极大值不一定大于极小值,而最值是函数的整体性质,在所给 的区间上最大值一定大于最小值,且最大值和最小值都是唯一的 (2)函数在 x0处取得极值,有 f(x0) 0,而 f(x0)0 不一定有 f(x)在 x0处取得极值 (3)两者之间的联系,求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比
7、较而得出最大值和最 小值 1(2014 课标全国 )函数 f(x)在 xx0处导数存在若 p:f(x0) 0;q:x x0是 f(x)的极值 点,则 () Ap 是 q 的充分必要条件 Bp 是 q 的充分条件,但不是q 的必要条件 Cp 是 q 的必要条件,但不是q 的充分条件 Dp 既不是 q 的充分条件,也不是q 的必要条件 答案C 解析当 f(x0)0 时, xx0不一定是f(x)的极值点, 比如, yx3在 x0 时, f (0)0, 但在 x0 的左右两侧f(x)的符号相同, 因而 x0 不是 yx 3的极值点 由极值的定义知,x x0是 f(x)的极值点必有f(x0)0. 综上知
8、, p 是 q 的必要条件,但不是充分条件 2(2013 辽宁 )设函数 f(x)满足 x 2f (x)2xf(x)e x x ,f(2) e 2 8 ,则 x0 时, f(x)() A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 答案D 解析由 x2f(x)2xf(x) e x x , 得 f (x)e x2x2f x x 3,令 g(x)e x2x2f(x),x 0, 则 g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex 2 e x x x2 e x x .令 g(x)0,得 x2. 当 x2 时, g(x)0;当 0x2 时, g (x)0, g(x
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