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1、第 35 练与抛物线相关的热点问题 题型一抛物线的定义及其应用 例 1设 P 是抛物线y24x 上的一动点, (1)求点 P 到 A(1,1)的距离与点P 到直线 x 1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),抛物线的焦点为F,求 |PB|PF|的最小值 破题切入点画出图形,结合抛物线的定义,转化为共线问题 解(1)由于 A(1,1),F(1,0),P 是抛物线上的任意一点,则|AP|PF|AF|2215, 从而知点P 到 A(1,1)的距离与点P 到 F(1,0)的距离之和的最小值为5, 所以点 P 到 A(1,1) 的距离与P 到直线 x 1 的距离之和的最小值也为5. (2) 如
2、图所示,自点B 作 BQ 垂直于抛物线的准线于点Q,交抛物线于点P1,此时 |P1Q|P1F|, 那么 |PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4,即 |PB|PF|的最小值为 4. 题型二抛物线的标准方程及性质 例 2(1)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x 28y 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,以F 为圆心、 |FM | 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y0的取值范围是() A(0,2) B0,2 C(2, ) D 2, ) (2)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽 4 m水位下降1 m 后, 水面宽 _ m. 破题切入点准确求出抛物线方程结合其简单几
3、何性质作答 答案(1)C(2)26 解析(1)x 28y,焦点 F 的坐标为 (0,2),准线方程为 y 2.由抛物线的定义知|FM |y0 2. 以 F 为圆心、 |FM|为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y02)2. 由于以 F 为圆心、 |FM |为半径的圆与准线相交, 又圆心 F 到准线的距离为4,故 42. (2) 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2 2py(p0), 则 A(2, 2),将其坐标代入x2 2py 得 p1. x2 2y. 水位下降1 m,得 D(x0, 3)(x00), 将其坐标代入x2 2y,得 x2 06, x06.水面宽 |CD|26 m.
4、题型三直线和抛物线的位置关系 例 3已知抛物线C:y 22px(p0)过点 A(1, 2) (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点 )的直线 l,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与 l 的距离等于 5 5 ?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由 破题切入点(1)将点代入易求方程 (2)假设存在,根据条件求出,注意验证 解(1)将 (1, 2)代入 y 22px,得 (2)22p 1, 所以 p2. 故所求的抛物线C 的方程为y24x, 其准线方程为x 1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y 2xt. 由 y 2x
5、t, y 24x, 得 y22y2t0. 因为直线l 与抛物线 C 有公共点, 所以 48t0,解得 t1 2. 由直线 OA 到 l 的距离 d 5 5 , 可得 |t| 5 1 5, 解得 t 1. 又因为 1? 1 2, ), 1 1 2, ), 所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x y10. 总结提高(1)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴且离心率 为 e1,所以与椭圆、双曲线相比,它有许多特殊性质,可以借助几何知识来解决 (2)抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系,将抛物线y 2 2px 关于 y 轴、直线 x y0 与 xy0
6、 对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线 y 22px 绕原点旋转 90 或 180 也可以得到抛物线的其他三种形式,这是它们的内在联系 (3)抛物线的焦点弦: 设过抛物线y 22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1y2 p 2,x 1x2 p 2 4 ; 若直线 AB 的倾斜角为 ,则 |AB| 2p sin 2; 若 F 为抛物线焦点,则有 1 |AF| 1 |BF| 2 p. 1已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的点P(m,2)到焦点的距离为4,则 m 的值为 () A4 B 2 C4 或 4 D 12 或 2 答
7、案C 解析设标准方程为x2 2py(p0), 由定义知P 到准线的距离为4,故 p 2 24,所以 p4, 则方程为x2 8y,代入 P 点坐标得 m 4. 2(2014 泸州模拟 )若抛物线 y 28x 的焦点是 F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与 l 相切的 圆共有 () A0 个B1 个 C2 个D4 个 答案B 解析由题意得F(2,0),l: x 2, 线段 MF 的垂直平分线方程为y 3 2 32 30(x 5 2), 即 x3y70,设圆的圆心坐标为(a,b), 则圆心在x3y 70 上,故 a 3b7 0,a73b, 由题意得 |a(2)|a2 2b2, 即 b28a8(
8、73b),即 b224b56 0. 又 b0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个 3已知抛物线y 22px(p0)的焦点为 F,P、Q 是抛物线上的两个点,若PQF 是边长为2 的 正三角形,则p 的值是 () A2 3 B23 C.3 1 D.31 答案A 解析依题意得F(p 2,0),设 P( y 2 1 2p,y 1),Q( y 2 2 2p,y 2)(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|,得 y 2 1 2p p 2 y 2 2 2p p 2,y 2 1y 2 2,y1 y2.又|PQ| 2,因此 |y1|y2|1,点 P( 1 2p,y1)又点 P 位于该 抛物线上,于是
9、由抛物线的定义得|PF| 1 2p p 22,由此解得 p2 3,故选 A. 4(2014 课标全国 )设 F 为抛物线C:y 2 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为30 的直线交C 于 A, B 两点, O 为坐标原点,则OAB 的面积为 () A. 33 4 B. 9 3 8 C.63 32 D. 9 4 答案D 解析由已知得焦点坐标为F(3 4, 0), 因此直线AB 的方程为y 3 3 (x3 4), 即 4x43y30. 方法一联立抛物线方程化简得4y2123y9 0, 故|yAyB| yAyB 24y AyB 6. 因此 SOAB 1 2|OF|yAyB| 1 2 3 46 9 4.
10、 方法二联立方程得x 221 2 x 9 16 0, 故 xAxB 21 2 . 根据抛物线的定义有|AB|xAxBp 21 2 3 2 12, 同时原点到直线AB 的距离为h |3| 4 2 4 32 3 8, 因此 SOAB 1 2|AB| h 9 4. 5已知抛物线y 2 8x 的准线为 l,点 Q 在圆 C:x2y22x 8y130 上,记抛物线上任意 一点 P 到直线 l 的距离为d,则 d|PQ|的最小值等于 () A3 B2 C4 D5 答案A 解析如图所示,由题意,知抛物线y28x 的焦点为F(2,0),连接 PF,则 d|PF|. 圆 C 的方程配方,得(x1)2(y4)24
11、,圆心为C(1,4),半径 r2. d|PQ| |PF| |PQ|,显然, |PF|PQ|FQ|(当且仅当F,P,Q 三点共线时取等号) 而|FQ|为圆 C 上的动点 Q 到定点 F 的距离, 显然当 F,Q,C 三点共线时取得最小值, 最小值为 |CF|r12 2 4022523. 6过抛物线y 24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, O 为坐标原点若|AF|3,则 AOB 的面积为 () A. 2 2 B.2 C.3 2 2 D22 答案C 解析如图所示,由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为 (1,0),又 |AF|3, 由抛物线定义知:点A 到准线 x 1 的距离为3, 点
12、 A 的横坐标为2. 将 x2 代入 y24x 得 y28, 由图知点A 的纵坐标y22, A(2,22), 直线 AF 的方程为y2 2(x1) 联立直线与抛物线的方程 y2 2 x1 , y 24x, 解之得 x 1 2, y2 或 x2, y2 2. 由图知 B 1 2, 2 , SAOB 1 2|OF| |yAyB| 1 21|2 2 2| 3 2 2.故选 C. 7过抛物线y 2 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于A,B 两点,若 |AB|25 12,|AF|0)的焦点为 F,其准线与双曲线 x 2 3 y 2 3 1 相交于 A、B 两点, 若 ABF 为等边三角形,则p_. 答案
13、6 解析因为 ABF 为等边三角形, 所以由题意知B p 3 , p 2 , 代入方程 x 2 3 y 2 3 1 得 p6. 11(2014 大纲全国 )已知抛物线C:y 22px(p0)的焦点为 F,直线 y4 与 y 轴的交点为P, 与 C 的交点为Q,且 |QF| 5 4|PQ|. (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若AB 的垂直平分线l与 C 相交于 M、 N 两点,且 A、 M、B、 N 四点在同一圆上,求l 的方程 解(1)设 Q(x0,4),代入 y22px 得 x0 8 p. 所以 |PQ| 8 p,|QF | p 2x0 p 2
14、 8 p. 由题设得 p 2 8 p 5 4 8 p, 解得 p 2(舍去 )或 p2. 所以 C 的方程为y24x. (2)依题意知l 与坐标轴不垂直, 故可设 l 的方程为xmy1(m0) 代入 y 24x,得 y24my40. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y24m,y1y2 4. 故设 AB 的中点为D(2m21,2m), |AB|m 21|y 1y2|4(m 21) 又 l 的斜率为 m, 所以 l的方程为x 1 my2m 23. 将上式代入y24x, 并整理得y2 4 my4(2m 23)0. 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 则 y3y4 4 m,y3y
15、4 4(2m 23) 故设 MN 的中点为E( 2 m 22m2 3, 2 m), |MN|1 1 m 2|y3y4| 4 m 21 2m21 m 2 , 由于 MN 垂直平分AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE| |BE| 1 2|MN|, 从而 1 4|AB| 2|DE|21 4|MN| 2, 即 4(m21) 2(2 m 22) 2(2m2 m) 24 m 212 2m 21 m 4, 化简得 m210,解得 m1 或 m 1. 所求直线l 的方程为xy10 或 xy10. 12(2014 湖北 )在平面直角坐标系xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到y 轴的
16、距离多1.记 点 M 的轨迹为C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为k 的直线 l 过定点 P(2,1),求直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、 三个公共点时k 的相应取值范围 解(1)设点 M(x,y),依题意得 |MF |x|1, 即x1 2y2|x| 1, 化简整理得y22(|x|x) 故点 M 的轨迹 C 的方程为y2 4x,x0 0, x0. (2)在点 M 的轨迹 C 中, 记 C1:y2 4x(x0),C2: y0(x0) 依题意,可设直线l 的方程为y1k(x 2) 由方程组 y 1k x2 , y 24x, 可得 ky24y4(2k1)0.(*1) 当
17、 k0 时,此时y1. 把 y1 代入轨迹 C 的方程,得x1 4. 故此时直线l:y1 与轨迹 C 恰好有一个公共点(1 4,1) 当 k0 时,方程 (*1)根的判别式为 16(2k 2k1)(* 2) 设直线 l 与 x轴的交点为 (x0,0),则 由 y1k(x2),令 y0,得 x0 2k1 k .(*3) ()若 1 2. 即当 k( , 1)(1 2, )时,直线 l 与 C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直 线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ()若 0, x00, x00, 由(*2)(*3)解得 k1, 1 2,或 1 2k0, x00, 由 (*1)(*2)解得 1k 1 2或 0k 1 2. 即当 k( 1, 1 2)(0, 1 2)时,直线 l 与 C 1有两个公共点,与 C2有一个公共点,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点 综合 可知,当k( , 1)(1 2, )0 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 当 k 1 2,0)1, 1 2时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当k (1, 1 2)(0, 1 2) 时,直线l 与轨迹 C 恰好有三个公共点
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