【考前三个月】高考数学必考题型过关练:第37练(含答案).pdf
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1、第 37 练圆锥曲线中的探索性问题 题型一定值、定点问题 例 1已知椭圆C: x 2 a 2 y 2 b 21 经过点 (0,3),离心率为 1 2,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点F 交 椭圆于 A、B 两点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且 MA AF ,MB BF ,当直线l 的倾斜角变化时,探求 的 值是否为定值?若是,求出 的值;否则,请说明理由 破题切入点(1)待定系数法 (2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y 后可得点A, B 的横坐标的关系式, 然后根据向量关系式MA AF ,MB BF .把 ,用点 A,B 的横坐标表示出
2、来,只要证明 的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值,否则就不是定值 解(1)依题意得b3, e c a 1 2, a 2b2c2, a 2,c1,椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)因直线 l 与 y 轴相交于点M,故斜率存在, 又 F 坐标为 (1,0),设直线l 方程为 yk(x1),求得 l 与 y 轴交于 M(0, k), 设 l 交椭圆 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 yk x1 , x 2 4 y 2 3 1, 消去 y 得(34k2)x28k2x4k 2120, x1x2 8k 2 34k 2,x1x2 4k 212 34k 2, 又由 MA A
3、F ,(x1,y1 k) (1x1, y1), x1 1x1,同理 x2 1x2, x1 1x1 x2 1x2 x1x22x1x2 1 x1x2x1x2 8k 2 34k 2 2 4k 212 34k 2 1 8k 2 34k 2 4k 2 12 34k 2 8 3. 所以当直线l 的倾斜角变化时,直线 的值为定值 8 3. 题型二定直线问题 例 2在平面直角坐标系xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于 A,B 两 点 (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于y 轴的直线l,使得 l 被以 AC 为直径的
4、圆截得的弦长恒为定值?若存在, 求出 l 的方程;若不存在,请说明理由 破题切入点假设符合条件的直线存在,求出弦长;利用变量的系数恒为零求解 解方法一(1)依题意,点N 的坐标为N(0, p), 可设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 AB 的方程为y kxp, 与 x22py 联立得 x 22py, ykxp. 消去 y 得 x22pkx2p2 0. 由根与系数的关系得x1x22pk,x1x2 2p2. 于是 SABNSBCNSACN 1 2 2p|x1x2| p|x1x2|p x1x2 24x 1x2 p4p2k28p2 2p2 k 22, 当 k0 时, (SABN)min2
5、2p 2 . (2)假设满足条件的直线l 存在,其方程为ya, AC 的中点为O, l 与以 AC 为直径的圆相交于点P,Q,PQ 的中点为H, 则 OHPQ,Q点的坐标为 (x 1 2 , y1p 2 ) |OP| 1 2|AC| 1 2 x 2 1 y1p 21 2 y 2 1p 2, |OH|a y1 p 2 1 2|2ay 1p|, |PH| 2|OP|2|OH|2 1 4(y 2 1p 2)1 4(2a y1p) 2 (a p 2)y 1a(pa), |PQ|2(2|PH|)24(a p 2)y1a(pa) 令 a p 2 0,得 a p 2, 此时 |PQ|p 为定值,故满足条件的
6、直线l 存在, 其方程为y p 2,即抛物线的通径所在的直线 方法二(1) 前同方法一,再由弦长公式得 |AB|1k 2|x 1 x2| 1k2 x1x2 24x 1x2 1k 2 4p2k28p2 2p1k2 k22, 又由点到直线的距离公式得d 2p 1k 2. 从而 SABN 1 2 d |AB| 1 2 2p 1 k 2 k222p 1k 2 2p2 k 22. 当 k0 时, (SABN)min2 2p2. (2)假设满足条件的直线l 存在,其方程为ya, 则以 AC 为直径的圆的方程为 (x0)(xx1)(yp)(yy1)0, 将直线方程ya 代入得 x 2x 1x (ap)(ay
7、1)0, 则 x 2 14(ap)(ay1) 4(a p 2)y1a(p a) 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P(x3,y3), Q(x4,y4), 则有 |PQ|x3x4| 4 a p 2 y1a p a 2a p 2 y1a pa . 令 a p 2 0,得 a p 2, 此时 |PQ|p 为定值,故满足条件的直线l 存在, 其方程为y p 2,即抛物线的通径所在的直线 题型三定圆问题 例 3已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上, 离心率为 3 2 ,两个焦点分别为F1和 F2, 椭圆 G 上一点到F1和 F2的距离之和为12,圆 Ck:x2y22kx4y21 0(
8、kR)的圆心为点 Ak. (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 AkF1F2的面积; (3)问是否存在圆Ck包围椭圆 G?请说明理由 破题切入点(1)根据定义待定系数法求方程 (2)直接求 (3)关键看长轴两端点 解(1)设椭圆 G 的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0),半焦距为 c,则 2a12, c a 3 2 , 解得 a6, c33, 所以 b2a2 c236279. 所以所求椭圆G 的方程为 x 2 36 y 2 9 1. (2)点 Ak的坐标为 (k,2), SAkF1F21 2 |F1F 2|2 1 26 32 6 3. (3)若 k0,由 6 202 12k02
9、11512k0,可知点 (6,0)在圆 C k外; 若 k0,可知点 (6,0)在圆 C k外 所以不论k 为何值,圆Ck都不能包围椭圆G. 即不存在圆Ck包围椭圆G. 总结提高(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解 决的问题,证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的 (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:yy0k(xx0),则直线必过定点(x0, y0);若得到了直线方程的斜截式:ykxm,则直线必过定点(0,m) (3)定直线问题一般都为特殊直线xx0或 yy0型 1(2014 成都模拟 )在平面直角坐标系xOy 中
10、,经过点 (0,2)且斜率为k的直线 l 与椭圆 x 2 2 y 21 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量 OP OQ 与AB 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由 解(1)由已知条件,得直线l 的方程为 ykx2, 代入椭圆方程得 x 2 2 (kx2)21. 整理得 (1 2k 2)x2 2 2kx1 0. 直线 l 与椭圆有两个不同的交点P 和 Q 等价于 8k2 4(1 2k 2) 4k220, 解得 k 2 2 . 即 k 的取值范围为 ( , 2 2 )( 2
11、 2 , ) (2)设 P(x1, y1),Q(x2,y2), 则OP OQ (x1x2,y1y2), 由方程 ,得 x1x2 42k 12k 2. 又 y1y2k(x1x2)2 2. 而 A(2,0),B(0,1),AB (2,1) 所以 OP OQ 与 AB 共线等价于x1x22(y1y2), 将 代入上式,解得k 2 2 . 由(1)知 k 2 2 , 故不存在符合题意的常数k. 2已知双曲线方程为x 2y 2 2 1,问:是否存在过点M(1,1)的直线 l,使得直线与双曲线交于 P、Q 两点, 且 M 是线段 PQ 的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在, 请说明理由 解显然 x
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