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1、第 6 练处理好 “线性规划问题 ”的规划 题型一不等式组所确定的区域问题 例 1已知点 M(x, y)的坐标满足不等式组 x20, y10, x2y20, 则此不等式组确定的平面区域的 面积 S的大小是 () A1 B2 C3 D4 破题切入点先画出点M(x,y)的坐标满足的可行域,再研究图形的形状特征,以便求出其面 积 答案A 解析作出不等式组 x20, y10, x2y20 表示的平面区域, 如图所示, 则此平面区域为ABC 及其内部, 且点 A(2,0),B(0,1),C(2,1), 于是, S 1 2 211.故选 A. 题型二求解目标函数在可行域中的最值问题 例 2若变量 x, y
2、 满足约束条件 x y2, x 1, y 0, 则 z2x y 的最大值与最小值的和为_ 破题切入点先根据已知约束条件画出可行域,再利用目标函数z2xy 的几何意义,即可 求得最大值与最小值 答案6 解析画出可行域,如图所示,由图象, 可得当 y 2x z经过点 B(2,0)时, zmax4; 当 y 2xz 经过点 A(1,0)时, zmin2.故填 6. 题型三利用线性规划求解实际应用题 例 3某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900 人旅行, A, B 两种客车的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为1 600 元 /辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过21 辆
3、,且 B 型车不多于A 型车 7 辆,则租金最少为() A31 200 元B36 000 元 C36 800 元D38 400 元 破题切入点设租用 A,B 两种型号的客车分别为x 辆, y 辆,总租金为z 元,可得目标函数 z1 600x2 400y.结合题意,建立关于x, y 的不等式组,计算A,B 型号客车的人均租金, 可得租用B 型车的成本比A 型车低,因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B 型车, 可使总租金最低 答案C 解析设租用 A,B 两种型号的客车分别为x 辆, y 辆, 所用的总租金为z 元,则 z1 600x2 400y, 其中 x,y 满足不等式组 36x60y90
4、0, yx7, yx21. (x,yN) 画出可行域,可知在x5,y12 时, 可载客 365 6012900(人), 符合要求且此时的总租金z1 60052 4001236 800,达到最小值故选C. 题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题 例 4设变量 x,y 满足约束条件 y3x2, x2y10, 2xy8, 则 lg(y1)lg x 的取值范围为() A0,12lg 2 B1, 5 2 C1 2,lg 2 D lg 2,12lg 2 破题切入点先画出不等式组所确定的可行域,将目标函数化为lg y1 x ,利用数形结合的方 法解 t y1 x 的最值,然后确定目标函数的最值,从而求其范
5、围 答案A 解析如图所示,作出不等式组 y3x2, x2y10, 2xy8 确定的可行域 因为 lg(y1)lg x lg y1 x ,设 ty1 x , 显然, t 的几何意义是可行域内的点P(x, y)与定点 E(0, 1)连线的斜率 由图,可知点P 在点 B处时, t 取得最小值; 点 P 在点 C 处时, t 取得最大值 由 x2y10, 2xy8, 解得 x3, y2, 即 B(3,2); 由 y3x2, 2xy8, 解得 x2, y4, 即 C(2,4) 故 t 的最小值为kBE2 1 3 1, t 的最大值为kCE4 1 2 5 2, 所以 t1, 5 2 又函数 ylg x 为
6、(0, )上的增函数, 所以 lg t0,lg 5 2, 即 lg(y1)lg x 的取值范围为0,lg 5 2 而 lg 5 2lg 5lg 212lg 2, 所以 lg(y1)lg x 的取值范围为0,12lg 2 故选 A. 总结提高(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础 (2)求解线性目标函数的最大值或最小值时,一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y kx,再平移此直线 (3)求解线性规划应用题的一般步骤:设出未知数; 列出线性约束条件;建立目标函数; 求出最优解; 转化为实际问题 1实数 x,y 满足 y|x1|, y1, 则不等式组所围成图形的面积为(
7、) A4 B2 C.1 2 D1 答案D 解析实数 x,y 满足 y|x1|, y1, 它表示的可行域如图所示 不等式组所围成的图形是三角形,其三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1), 所以所围成图形的面积为 1 221 1.故选 D. 2已知 O 是坐标原点,点A(1,1),若点 M(x,y)为平面区域 xy2, x1, y2 上的一个动点, 则OA OM 的取值范围是 () A1,0 B0,1 C0,2 D1,2 答案C 解析作出可行域,如图所示,由题意OA OM xy. 设 z x y,作 l0: xy0,易知,过点(1,1)时 z 有最小值, zmin 110;过点 (
8、0,2)时 z有最大值, zmax022,OA OM 的取值范围是0,2 3(2014 广东 )若变量 x,y 满足约束条件 yx, xy1, y 1, 且 z 2xy 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 mn 等于 () A5 B6 C7 D8 答案B 解析画出可行域,如图阴影部分所示 由 z2xy,得 y 2xz. 由 yx, y 1 得 x 1, y 1, A(1, 1) 由 xy1, y 1 得 x 2, y 1, B(2, 1) 当直线 y 2x z经过点 A 时, zmin2(1)1 3n.当直线 y 2x z经过点 B 时, zmax 2213 m,故 mn6. 4设 m1,
9、在约束条件 yx, ymx, xy1 下,目标函数zxmy 的最大值小于2,则 m 的取值范 围为 () A(1,12) B (12, ) C(1,3) D(3, ) 答案A 解析 变形目标函数为y 1 mx z m,由于 m1,所以 10 表示的平面区域内的任意一点,点P 到直线 3x4y 120 的距离为d,则 d 的取值范围是() A1, 12 5 B1, 12 5 ) C(1, 6 5) D( 3 4 ,1 答案B 解析 作出可行域为AOB(但不包括OB 上的点 )及直线 3x4y120,如图所示 结合图形,可知点A(1,1)到直线 3x4y12 0 的距离最小, 最小值 dmin |
10、3412| 5 1; 原点 O(0,0)到直线 3x4y 120 的距离最大, 最大值 dmax |0304 12| 5 12 5 . 又 y0,所以 d1,12 5 ) 6设关于 x,y 的不等式组 2xy 10, xm0 表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足 x02y0 2,则 m 的取值范围是 () A(, 4 3) B(, 1 3) C(, 2 3) D(, 5 3) 答案C 解析问题等价于直线x2y2 与不等式组所表示的平面区域存在公共点,由于点(m,m) 不可能在第一和第三象限,而直线x2y2 经过第一、三、四象限,则点(m,m)只能在第 四象限,可得m0,即 m0,b0)
11、的最大值为8, 则 ab 的最小值为 _ 答案4 解析由 zabxy,得 y abx z,所以直线的斜率为ab0,作出 可行域,如图,由图象,可知当y abxz 经过点 B 时, z 取得最大 值 由 2xy20, 8xy40, 得 x1, y4, 即 B(1,4), 代入 zabxy8, 得 ab 48, 即 ab4, 所以 ab2 ab 4,当且仅当ab2 时取等号,所以ab 的最小值为4. 11给定区域D: x4y4, xy4, x0. 令点集T( x0,y0)D|x0, y0 Z, (x0,y0)是 zxy 在 D 上取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定 _条不同的直线 答案6 解析线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2), (3,1),(4,0),故共可确定6 条 12已知 t 是正实数,如果不等式组 xyt, xy0, x0 表示的区域内存在一个半径为1 的圆,则t 的最小值为 _ 答案222 解析画出不等式组表示的平面区域,当 t 是正实数时, 所表示的区域为第一象限的一个等腰 直角三角形 依题意, 它有一个半径为1 的内切圆, 不妨设斜边 |OB| t, 则两直角边长|AB| |OA| 2 2 t,所以 2 2 t 2 2 tt 2 1,求得t 2 21 2 22,即 tmin22 2.
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