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1、2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题 ( 每题 8分,共 64 分,结果须化简 ) 1、设三个复数 1, i, z在复平面上对应的三点共线,且|z|=5 ,则 z= 2、设 n 是正整数,且满足n 5=438427732293 ,则 n= 3、函数 f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期 = 4. 设点 P,Q分别在函数 y=2 x 和 y=log2x 的图象上,则 |PQ| 的最小 值= 5、从 1,2, , 10 中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差s 21 的概率 = 6、在边长为 I 的正方体 ABCD-A 1B1C1D1内部
2、有一小球,该小球与正方体的对角线 段 AC1相切,则小球半径的最大值= 7、设 H是ABC的垂心,且 3450HAHBHC,则 cosAHB= 8、 把 1, 2, ,n 2 按照顺时针螺旋方式排成n行 n列的表格 Tn, 第一行是 1,2, ,n . 例如: 3 123 894 765 T设 2018 在 T100的第 i 行第 j 列,则 (i,j)= 二、解答题 ( 第 9-10 题每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9、如图所示,设ABCD 是矩形,点 E, F 分别是线段 AD, BC 的中点,点 G在线 段 EF上,点 D, H 关于线段 AG的垂直平
3、分线 L 对称 . 求证: HAB=3 GAB. 10、设 O是坐标原点,双曲线C:上动点 M处的切线交 C的两条渐近线于A,B 两 点。 (1)减 B 两点:(1)求证: AOB的面积 S 是定值。 (2)求 AOB的外心 P 的轨迹方程 . 11、 (1)求证:对于任意实数x,y,z都有: 222 x233yzxyyzzx . (2)是否存在实数k3 ,使得对于任意实数x.y,z下式恒成立? 222 x23yzk xyyzzx ,试证明你的结论 . 12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或 蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 201
4、8 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 考试时间 :2019 年 6 月 30 日上午 9:00 1. 设三个复数1,i, z在复平面上对应的三点共线,且5z,则z4-3i,34i. 2. 设n是正整数,且满足 5 438427732293n, 则n213. 3. 函数 sin2sin3sin4fxxxx的最小正周期 =2 . 4. 设 点,P Q分 别 在 函 数2 x y和 2 logyx 的 图 象 上 , 则 PQ 的 最 小 值 = 1ln ln 2 2 ln 2 . 5、从1,2,10中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差 2 1s的概率 = 1 15 . 6、在边长为1的正方体 1
5、111 ABCDABC D 内部有一小球,该小球与正方体的对角 线段 1 AC 相切,则小球半径的最大值= 46 5 . 7、设H是ABC的垂心,且 3450HAHBHC,则cosAHB 6 6 . 8、把 2 1,2,n 按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格 n T ,第一行是1,2,n. 例如: 3 123 894 765 T设 2018 在 100 T的第i行第j列,则, i j34,95 . 9、如图所示,设ABCD是矩形,点,E F分别是线段,AD BC的中点,点G在线 段EF上,点,D H关于线段 AG的垂直平分线L对称. 求证:3HABGAB. 10、设O是坐标原点,双曲线:C 22 22 1 xy ab 上动点M处的切线交C的两条渐近 线于,A B两点. (1) 求证:ABC的面积S是定值 ; (2)求 AOB的外心P的轨迹方程 . 11. (1)求证:对于任意实数 ,x y z都有: 222 233xyzxyyzzx (2)是否存在实数3k,使得对于任意实数,x y z下式恒成立? 222 23xyzk xyyzzx 试证明你的结论 . 标答: 12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或 蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
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