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1、考点四十八事件与概率 知识梳理 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S下,一定会发生的事件,叫作相对于条件S的必然事件 (2)在条件 S下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件S的不可能事件 (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件 (4)在条件 S下可能发生也可能不发生的事件,叫作相对于条件S的随机事件 (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C表示 2频率与概率 (1)在相同的条件S下重复 n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现 的次数 nA为事件 A 出现的频数,称事件A 出现的比例fn(A) nA n 为事件 A 出现的频率 (2
2、)在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A 发生的频率会在某个常数附近 摆动,即随机事件A 发生的频率具有稳定性这时,我们把这个常数叫作随机事件A 的概 率,记作 P(A) 3事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件A 发生,则事件 B 一定发生, 这时称事件 B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B) B? A(或 A? B) 相等关系若 B? A 且 A? B,那么称事件A 与事件 B相等AB 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生, 则称此事件为事件A 与事件 B 的并事件 (或和事件 ) AB(或 AB) 交事件 (积事件 ) 若某事件
3、发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生, 则称此事件为事件A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件, 那么称事件A与事件 B 互 斥 AB? 对立事件 若 AB 为不可能事件, AB 为必然事件, 那么称 事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB?且 AB 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0 P(A)1. (2)必然事件的概率P(E)1. (3)不可能事件的概率P(F)0. 5互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二
4、者之一必须有一个发生,因此, 对立事件是 互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件 6互斥事件与对立事件的概率计算公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则P(AB)P(A)P(B) 若事件 A 与事件A 互为对立事件,则P(A)1P( A ) 典例剖析 题型一随机事件的概念 例 1将一枚硬币向上抛掷10 次,其中“正面向上恰有5 次”是 _ 答案随机事件 解析抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为010,都有可能发生,正面向上5 次是随机 事件 变式训练从 6 个男生 2 个女生中任选3 人,则下列事件中必然事件是_ 3 个都是男生至少有1 个男生 3 个都是女生至少有1 个女生 答案 解
5、析因为只有2 名女生,所以选出的3 人中至少有一个男生 题型二频率与概率 例 2某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如表所示: 射击次数n10 20 50 100 200 500 击中 10 环次数 m8 19 44 93 178 453 击中 10 环频率 m n (1)计算表中击中10 环的各个频率; (2)这位射击运动员射击一次,击中10 环的概率为多少? 解析(1)击中 10 环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (2)这位射击运动员射击一次,击中10 环的概率约为0.90. 变式训练 (2015陕西文 ) 随机抽取一个年份,对西安市该年4 月份
6、的天气情况进行统计, 结果如下: 日期123456789101112131415 天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴 日期161718192021222324252627282930 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨 (1)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (2)西安市某学校拟从4 月份的一个晴天开始举行连续2 天的运动会,估计运动会期间不下 雨的概率 解析(1)在容量为30 的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4 月份任选一天, 西安市不下雨的概率为P26 30 13 15. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如, 1 日与 2 日, 2 日与 3 日等
7、 ),这样,在4 月份 中,前一天为晴天的互邻日期对有16 个,其中后一天不下雨的有14 个,所以晴天的次日不 下雨的频率为 7 8,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为 7 8. 解题要点频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小,但无 法从根本上刻画事件发生的可能性大小,但从大量重复试验中发现,随着试验次数的增多, 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率 题型三互斥事件与对立事件概念辨析 例 3从 40 张扑克牌 (红桃、黑桃、方块、梅花点数从110 各 10 张)中,任取一张,判断 下列给出的每对事件,互斥事件为_,对立事件为_ “抽出红桃”与“抽出
8、黑桃”; “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; “抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9” 答案 解析是互斥事件 理由是:从40 张扑克牌中任意抽取1 张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生 的,所以是互斥事件 是互斥事件,且是对立事件 理由是:从40 张扑克牌中,任意抽取1 张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不 可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件 不是互斥事件 理由是:从40 张扑克牌中任意抽取1 张,“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数 大于 9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10.因此,二者不是互斥事件,当然也不 可能
9、是对立事件 变式训练一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具 向上抛掷1 次,设事件A 表示向上的一面出现奇数点,事件B 表示向上的一面出现的点数 不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则 _ A 与 B 是互斥而非对立事件 A 与 B 是对立事件 B 与 C 是互斥而非对立事件 B 与 C 是对立事件 答案 解析A B出现点数1 或 3,事件 A,B 不互斥更不对立;BC?,BC ,故事 件 B, C 是对立事件 解题要点对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事 件应为必然事件这些也可类比集合进行理解,具体应
10、用时,可把所有试验结果写出来,看 所求事件包含哪几个试验结果,从而判定所给事件的关系 题型三利用互斥事件与对立事件求概率 例 4 (2015 天津文 )设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层 抽样的方法从这三个协会中抽取6 名运动员组队参加比赛 (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2)将抽取的6 名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4, A5,A6.现从这 6 名运动员 中随机抽取2 人参加双打比赛 用所给编号列出所有可能的结果; 设 A 为事件“编号为A5和 A6的两名运动员中至少有1人被抽到”, 求事件 A 发生的概率 解析(1)
11、应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)从 6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛的所有可能结果为A1, A2 , A1, A3 , A1, A4 ,A1,A5,A1,A6,A2,A3, A2,A4,A2,A5 , A2,A6, A3,A4 ,A3,A5, A3,A6,A4, A5,A4,A6 ,A5,A6,共 15 种 编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有1 人被抽到的所有可能结果为A1,A5,A1,A6, A2,A5,A2, A6,A3,A5 ,A3,A6, A4,A5 ,A4,A6,A5,A6,共 9 种 因此,事件A 发生的概率P(A) 9 15 3 5
12、. 变式训练现有 7 名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理 成绩优秀, C1,C2的化学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1 名,组成 一个小组代表学校参加竞赛 (1)求 C1被选中的概率; (2)求 A1和 B1不全被选中的概率 解析(1)用 M 表示“ C1恰被选中”这一事件 从 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1 名,其一切可能的结果组成的12 个基本事 件为: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2, B1,C2), (A2,B2,C1),(A2,B2,
13、C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3, B2,C2) C1恰被选中有 6 个基本事件: (A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3, B2,C1), 因而 P(M) 6 12 1 2. (2)用 N 表示“ A1,B1不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“ A1,B1全被选中”这 一事件,由于N A1, B1,C1, A1,B1,C2,所以事件N 由两个基本事件组成,所 以 P( N ) 2 12 1 6, 由对立事件的概率公式得P(N) 1P( N ) 1 1 6 5
14、 6. 解题要点求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法: (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率; (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的 分类较少, 可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”它常用来求“至少”或“至 多”型事件的概率 当堂练习 1 从三个红球, 两个白球中随机取出两个球,则取出的两个球不全是红球的概率是_ 答案 7 10 解析取出两个球的情况共有10 种,不全是红球的对立事件为全为红球,其概率为 3 10,故 所求概率为1 3 10 7 10. 2掷一颗质地均匀的骰
15、子,观察所得的点数a,设事件 A“ a 为 3”, B“ a 为 4”, C “ a 为奇数”,则下列结论正确的是_ A 与 B 为互斥事件A 与 B 为对立事件 A 与 C 为对立事件A 与 C 为互斥事件 答案 解析依题意,事件A 与 B 不可能同时发生,故A 与 B 是互斥事件,但A 与 B 不是对立事 件,显然, A 与 C 既不是对立事件也不是互斥事件 3. 把红、黄、蓝、白4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,事件“甲分得红牌”与 “乙分得红牌”是_ 对立事件不可能事件 互斥但不对立事件不是互斥事件 答案 解析显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给乙
16、、丙两 人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件 4(2015 江苏 )袋中有形状、大小都相同的4 只球,其中1 只白球, 1 只红球, 2 只黄球,从 中一次随机摸出2 只球,则这2只球颜色不同的概率为_ 答案 5 6 解析这两只球颜色相同的概率为 1 6,故两只球颜色不同的概率为 11 6 5 6. 5(2014 四川卷 )一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记 的数字外完全相同随机有放回地抽取3 次,每次抽取1 张,将抽取的卡片上的数字依次记 为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c 不完全相同”
17、的概率 解析(1)由题意, (a,b, c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3, 2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2, 3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2, 1),(3,2,2), (3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种 设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A, 则事件 A 包括 (1,1,2),(1,
18、2,3),(2,1,3),共 3种,所以P(A) 3 27 1 9. 因此,“抽取的卡片上的数字满足a bc”的概率为 1 9. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c 不完全相同”为事件B, 则事件 B 包括 (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3种 所以 P(B)1P(B)1 3 27 8 9. 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c 不完全相同”的概率为 8 9. 课后作业 一、 填空题 1下列说法: 频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小; 做 n 次随机试验,事件A 发生 m 次,则事件A 发生的频率 m n就是事件 A 发生的概率; 百分率是频率,但
19、不是概率; 频率是不能脱离n 次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; 频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值 其中正确的是 _ 答案 解析由频率与概率的定义知正确. 2下列说法中正确的是_ 某厂一批产品的次品率为 1 10,则任意抽取其中 10 件产品一定会发现一件次品 气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的 地方不会下雨 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前 9 个病人都没有冶愈,第10 个病人就一定 能治愈 掷一枚均匀硬币,连续出现5 次正面向上, 第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率 仍然都为0.5 答案 解析
20、概率是指某一事件发生可能性的大小,根据这一定义可知,只有选项正确 3口袋中有100 个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45 个,从口袋中摸出一个球, 摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为_ 答案0.32 解析P(摸出黑球 )10.450.230.32. 4甲、乙两人下棋,和棋的概率为 1 2,乙获胜的概率为 1 3,则下列说法正确的是 _ 甲获胜的概率是 1 6 甲不输的概率是 1 2 乙输了的概率是 2 3 乙不输的概率是 1 2 答案 解析“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是P11 2 1 3 1 6; 设事件 A 为“甲不输”,则A 是“甲胜”、“和棋
21、”这两个互斥事件的并事件,所以P(A) 1 6 1 2 2 3(或设事件 A 为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件,所以P(A)11 3 2 3. 5从 1,2,3,9 这 9 个数中任取两数,其中: 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数至少有一个是奇数和两个都是奇数至少有一 个是奇数和两个都是偶数至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中,是对立事件的是_ 答案 解析中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从19 中任取两数共有 三个事件: “两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两 个都是偶数”是对立事件 64 张卡片上分别写有数字1,2,3,4,若从这
22、4 张卡片中随机抽取2 张,则取出的2 张卡片 上的数字之和为奇数的概率为_ 答案 2 3 解析从 4 张卡片中抽取2 张的方法有6 种,和为奇数的情况有4 种, P 2 3. 7将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先后抛掷3 次,至少出现一次6 点向上的概率为_ 答案 91 216 解析由于“至少出现一次6 点向上”的对立事件是“没有一次出现6 点”,故所求概率为 P1(5 6) 31125 216 91 216. 8在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相 同现从中随机取出2 个小球,则取出的小
23、球标注的数字之和为3 或 6 的概率是 _ 答案 3 10 解析从五个小球中任取两个共有10 种,而 1 23,24 6,156,取出的小球标注的 数字之和为3 或 6 的只有 3 种情况,故取出的小球标注的数字之和为3 或 6 的概率为 3 10. 9将 2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行,则2 本数学书相邻的概率为 _ 答案 2 3 解析2 本数学书记为数1,数 2,3 本书共有 (数 1 数 2 语),(数 1 语数 2),(数 2 数 1 语), (数 2 语数 1),(语数 1 数 2),(语数 2 数 1)6 种不同的排法,其中2 本数学书相邻的排法有4 种,对应
24、的概率为P 4 6 2 3. 10在 3 张奖券中有一、二等奖各1张,另 1 张无奖甲、乙两人各抽取1 张,两人都中奖 的概率是 _ 答案 1 3 解析基本事件的总数为32 6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只有2 种情况, 所以两人都中奖的概率P2 6 1 3. 11甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3 种颜色的运动服中选择1 种,则他们选 择相同颜色运动服的概率为_ 答案 1 3 解析甲有 3 种选法, 乙也有 3 种选法, 所以他们共有9 种不同的选法 若他们选择同一种 颜色,则有3 种选法,所以其对应的概率P3 9 1 3. 二、解答题 12 (2015 北京文 )某超市随
25、机选取1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商 品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买. 商品 顾客人数 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解析(1)从统计表可以看出,在这1 000 位顾客中有200 位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1 0000.2. (2)从统计表可以看出,在这1 000 位顾客中,有100 位顾客同时购买
26、了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2 种商品 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率可以估计为 100200 1 000 0.3. (3)与(1)同理,可得: 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 1 000 0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100200300 1 000 0.6, 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 1 000 0.1. 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大 13 (2015 安徽文 )某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工根 据这 50 名职工对该
27、部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示 ),其中样本数据分组区间 为40,50) ,50,60), ,80,90),90,100 (1)求频率分布直方图中a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率; (3)从评分在 40,60) 的受访职工中,随机抽取2 人,求此2 人的评分都在40,50)的概率 解析(1)因为 (0.004a0.0180.022 20.028)101,所以 a0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于80 的频率为 (0.0220.018)10 0.4. 所以该企业职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在50,60)的有: 500.006 103(人),记为 A1,A2, A3; 受访职工中评分在40,50)的有: 500.00410 2(人),记为 B1,B2, 从这 5 名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10 种,它们是 A1, A2 , A1,A3, A2,A3 ,A1,B1, A1,B2 ,A2,B1, A2,B2 , A3,B1, A3,B2, B1,B2又 因为所抽取2 人的评分都在40,50)的结果有1 种,即 B1,B2,故所求的概率为 P 1 10.
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