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1、第 1 页 共 7 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标3 卷 理科数学 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1已知集合A=x|x-1 0 ,B=0,1,2,则 AB=( ) A0 B 1 C 1,2 D0,1,2 解
2、析:选C 2(1+i)(2-i)=( ) A-3-i B -3+i C 3-i D3+i 解析:选D 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小 长方体是棒头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯 视图可以是 ( ) 解析:选A 4若 sin =1 3,则 cos2 = ( ) A8 9 B 7 9 C - 7 9 D- 8 9 解析:选B cos2 =1-2sin 2=1-1 9= 8 9 5(x 2+2 x ) 5 的展开式中x 4 的系数为 ( ) A10 B 20 C 40 D80 解析:选C
3、 展开式通项为Tr+1=C5 r x 10-2r ( 2 x ) r = C5 r2rx10-3r ,r=2, T3= C5 222x4,故选 C 6 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴, y 轴交于 A,B 两点,点 P在圆 (x-2) 2+y2=2 上,则 ABP面积的取值范围是 ( ) A2,6 B 4,8 C 2,32 D22,32 解析:选A,线心距d=22,P 到直线的最大距离为32,最小距离为2,|AB|=22,Smin=2, Smax=6 7函数 y=-x 4+x2+2 的图像大致为 ( ) 第 2 页 共 7 页 解析:选D 原函数为偶函数,设t=x 2,t 0, f(t)
4、=-t2+t+2, 故选 D 8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10 位成 员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6)= C10 6(0.4)6(0.6)4,不合。 9 ABC的内角 A,B,C的对边分别为a, b,c,若 ABC的面积为 a 2+b2-c2 4 ,则 C=( ) A 2 B 3 C 4 D 6 解析:选C a 2+b2 -c 2=2abcosC,S=1 2absinC= a 2+b2-c2 4 =1 2abcosC tanC=1 10设 A,B,C,D 是同一个半径为4 的球的球面上四点,ABC为等边三角
5、形且其面积为93,则三棱锥 D-ABC体积的最大值为( ) A123 B 183 C 243 D543 解析:选B , ABC的边长为 a=6, ABC的高为 33,球心 O到 ABC的距离 =4 2-(2 3) 2=2, 当 D到 ABC 的距离为R+2=6时, D-ABC体积的最大,最大值=1 39 36=183 11设 F1, F2是双曲线C: x 2 a 2 y 2 b 21(a 0,b 0) 的左,右焦点,O是坐标原点过F2作 C 的一条渐近线的 垂线,垂足为P若 |PF1|=6|OP| ,则 C的离心率为 ( ) A5 B 2 C 3 D2 解析:选C 设 P(t,- b at),
6、 PF2与 y=- b ax 垂直, -bt a(t-c) =a b解得 t= a 2 c 即 P( a 2 c ,- ab c ) |OP|=( a 2 c ) 2+(- ab c ) 2=a,|PF 1|=( a 2 c +c) 2+(- ab c ) 2,依题有 (a 2 c +c) 2+(- ab c ) 2=6a2, 化简得 c 2=3a2,故选 C 12设 a=log0.20.3 ,b=log20.3 ,则 ( ) Aa+bab 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20 分。 13已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, ) 若 c/(2a+b),则 =_ 解
7、析: 2a+b=(4,2), c/(2a+b)则 4=2, =1 2 14曲线 y=(ax+1)e x 在点 (0,1) 处的切线的斜率为-2 ,则 a=_ 解析: f (x)= (ax+a+1) e x,f (0)=a+1=-2,a=-3 15函数 f(x)=cos(3x+ 6 ) 在0, 的零点个数为_ 第 3 页 共 7 页 解析:由3x+ 6 =k+ 2 得 x=k 3 + 9 ,k Z, 9 , 4 9 , 7 9 为0, 的零点 16已知点M(-1,1) 和抛物线C:y 2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C交于 A,B 两点若 AMB=90 0,则 k=_ 解析: k=
8、2 三、解答题:共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第22、 23 为选考题。考生根据要求作答。 (一)必考题:共60 分。 17 ( 12 分) 等比数列 an中, a1=1,a5=4a3 (1)求 an 的通项公式; (2)记 Sn为an 的前 n 项和若Sm=63,求 m 解: (1)设 an 的公比为q,由已知得q 4=4q2,解得 q=0(舍去),q=-2 或 q=2 故 an=(-2) n-1 或 an=2 n-1 (2)若 an=(-2) n-1 ,则 Sm=1-(-2) m 3 由 Sm=63 得(-2) m
9、=-188 ,此方程没有正整数解 若 an=2 n-1 ,则 Sm=2 n-1 由 S m=63 得 2 m =64,解得 m=6 综上, m=6 18 ( 12 分) 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两 种生产方式的效率,选取40 名工人,将他们随机分成两组,每组20 人,第一组工人用第一种生产方式,第 二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和
10、不超过 m 的 工人数填入下面的列联表: 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据( 2)中的列表,能否有99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: K 2 n(ad bc) 2 (a b)(a c)(b d)(c d) , 临界值表: P(K 2k 0) 0.050 0.010 0.001 k03.841 6.635 10.828 解: ( 1)第二种生产方式的效率更高 理由如下: (i )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75% 的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟, 用第二种生产方式的工人中,有75% 的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟因
11、此第二种生产方式的效率 更高 (ii )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为855 分钟,用第二 第 4 页 共 7 页 种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为735 分钟因此第二种生产方式的效率更高 (iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟;用第二种生 产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟,因此第二种生产方式的效率更高 (iv )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多,关于茎8 大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多,关
12、于茎7 大致呈对 称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完 成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高 以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 (2)由茎叶图知m= 79+81 2 =80 列联表如下: 超过 80 不超过 80 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 (3)由于 K 2=40(15 15-5 5) 2 20 202020 =106.635 ,所以有99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异 19 ( 12 分) 如图,边长为2 的正方形AB
13、CD所在平面与半圆弧CD ? 所在平面垂直,M是CD ? 上异于 C,D的点 (1)证明:平面AMD 平面 BMC ; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面 MCD 所成二面角的正弦值 19解: (1)由题设知,平面CMD 平面 ABCD ,交线为CD 因为 BC CD ,BC平面 ABCD ,所以 BC平面 CMD , 故 BC DM 因为 M为 CD ? 上异于 C,D的点,且DC为直径,所以 DMCM 又 BCCM=C ,所以 DM 平面 BMC 而 DM平面 AMD ,故平面AMD 平面 BMC (2)以 D为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐
14、标系D- xyz 当三棱锥M - ABC体积最大时,M为CD ? 的中点 由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), AM =(-2,1,1),AB =(0,2,0),DA =(2,0,0) 设 n=(x,y,z)是平面 MAB 的法向量,则 -2x+y+z=0 2y=0 可取 n=(1,0,2) DA 是平面 MCD 的法向量,因此cos= 5 5 ,sin=2 5 5 第 5 页 共 7 页 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 25 5 20 ( 12 分) 已知斜率为k 的直线 l 与椭圆 C: x 2 4 y 2
15、3 1 交于 A,B两点线段AB的中点为M(1,m)(m0) (1)证明: k0 时, f(x)0; (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求a 解: ( 1)当 a=0 时, f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f (x) =ln(1+x)- x 1+x 设函数 g(x)= f (x) =ln(1+x)- x 1+x ,则 g(x) = x (1+x) 2 当-10 时, g(x) 0故当 x-1 时, g(x) g(0)=0 ,且仅当x=0 时, g(x)=0 , 从而 f (x) 0,且仅当x=0 时,f (x)=0 所以 f(x) 在(-1,+ ) 单调递增 又 f(0)=0
16、 ,故当 -10 时, f(x)0 第 6 页 共 7 页 (2) (i )若 a0,由 (1) 知,当 x0 时, f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),与 x=0 是 f(x)的极大值点矛盾 (ii )若 a0,故 h(x) 与 f(x) 符号相同 又 h(0)=f(0)=0,故 x=0 是 f(x)的极大值点当且仅当x=0 是 h(x) 的极大值点 h(x) = 1 1+x - 2(2+x+ax 2)-2x(1+2ax) (2+x+ax 2)2=x 2(a2x2+4ax+6a+1) (x+1)(2+x+ax 2)2 如果 6a+10,则当 00,故 x=0 不是 h(x)
17、的极大值点 如果 6a+10; 当 x(0,1)时, h(x) 1,即 ( 4 , 2 ) 或 ( 2 , 3 4 ) 综上,的取值范围是( 4 , 3 4 ) (2) l 的参数方程为 x=tcos y=-2+tsin (t 为参数, 4 3 4 ) 设 A,B, P对应的参数分别为tA,tB,tP,则 tP=t A+tB 2 ,且 tA,tB满足 t 2-2 2tsin +1=0 于是 tA+tB=22sin , tP=2sin 又点P的坐标 (x,y)满足 x=tPcos y=-2+tPsin 第 7 页 共 7 页 所以点 P的轨迹的参数方程是 x= 2 2 sin2 y= - 2 2 - 2 2 cos2 (t为参数, 4 3 4 ) 23 选修 45:不等式选讲 (10 分) 设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1| (1)画出 y=f(x)的图像; (2)当 x0,+ ) , f(x)ax+b,求 a+b 的最小值 23解: (1)f(x)= -3x x- 1 2 x+2 - 1 2x1 3x x1 y=f(x)的图像如图所示 (2)由( 1)知, y=f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且 仅当 a3 且 b2 时, f(x) ax+b 在 0,+) 成立,因此a+b 的最小值为5
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