二次函数培优训练(3)(含答案).pdf
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1、二次函数培优训练(3) 一解答题(共9 小题) 1已知抛物线经过A( 2,0) , B(0,2) ,C(,0)三点,一动点P 从原点出发以1 个单位 /秒的速度沿x 轴正方向运动,连接BP,过点 A 作直线 BP 的垂线交 y 轴于点 Q设 点 P 的运动时间为t 秒 (1)求抛物线的解析式; (2)当 BQ=AP 时,求 t 的值; (3)随着点P 的运动,抛物线上是否存在一点M,使 MPQ 为等边三角形?若存在,请 直接写 t 的值及相应点M 的坐标;若不存在,请说明理由 2如图,在平面直角坐标系中,已知点C(0,4) ,点 A、B 在 x 轴上,并且 OA=OC=4OB , 动点 P 在
2、过 A,B,C 三点的抛物线上 (1)求抛物线的函数表达式; (2)是否存在点P,使得 ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,说明理由; (3)点 Q 为线段 AC 上一点,若四边形OCPQ 为平行四边形,求点Q 的坐标 3抛物线y=a( x+1) (x3)交 x 轴于 A、B 两点,交y 轴于 C, ABC=45 (1)求 a值; (2)点 M 为抛物线上第一象限内一点,连接AM ,当 CAM=45 时,求 M 的坐标;(3)在( 2)的条件下, P为抛物线上第一象限内一点,PRAM 交 AC 、BC 于 R、 Q,当 PQ=时,求 P 点坐标 4如
3、图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,二次函数y=x 2+c 的图象抛物线交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点C(0, 3) (1)求 ABC 的度数;(2)若点 D 是第四象限内抛物线上一点,ADC 的面积为, 求点 D 的坐标;(3)若将 OBC 绕平面内某一点顺时针旋转60 得到 O B C,点 O ,B 均落在此抛物线上,求此时O的坐标 5在平面直角坐标系xOy 中,定义直线y=ax+b 为抛物线 y=ax 2+bx 的特征直线, C(a,b) 为其特征点设抛物线y=ax 2+bx 与其特征直线交于 A、B 两点(点A 在点 B 的左侧) (1)当点
4、A 的坐标为 (0,0) ,点 B 的坐标为 (1,3)时,特征点 C 的坐标为; (2)若抛物线y=ax 2+bx 如图所示,请在所给图中标出点 A、点 B 的位置; 6如图,菱形ABCD 的边长为6 且 DAB=60 ,以点 A 为原点、边AB 所在的直线为x 轴 且顶点 D 在第一象限建立平面直角坐标系动点P从点 D 出发沿折线DCB 向终点 B 以 2 单位 /每秒的速度运动, 同时动点Q 从点 A 出发沿 x 轴负半轴以1 单位 /秒的速度运动, 当点 P到达终点时停止运动,运动时间为t,直线 PQ 交边 AD 于点 E (1)求出经过A、D、C 三点的抛物线解析式; (2)是否存在
5、时刻t 使得 PQDB ,若存在请求出t 值,若不存在,请说明理由; (3)设 AE 长为 y,试求 y 与 t 之间的函数关系式; (4)若 F、G 为 DC 边上两点,且点DF=FG=1 ,试在对角线DB 上找一点 M、抛物线 ADC 对称轴上找一点N,使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值 7如图 1,抛物线y=ax 2+bx+3 (a 0)与 x 轴、 y 轴分别交于点 A( 1,0) 、B(3,0) 、 点 C 三点 (1)试求抛物线的解析式; (2)点 D( 2,m)在第一象限的抛物线上,连接BC 、BD 试问,在对称轴左侧的抛物线 上是否存在一点P,满足 PBC=DBC?如
6、果存在,请求出点P 点的坐标;如果不存在, 请说明理由; (3)如图 2,在( 2)的条件下,将BOC 沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右 平移, 记平移后的三角形为B O C 在平移过程中, BOC与 BCD 重叠的面积记为S, 设平移的时间为t 秒,试求S 与 t 之间的函数关系式? 8如图,已知直线y=2x+2 与 x 轴交于点C,与 y 轴交于点 B,抛物线y=ax 22ax+c 过点 C 且与直线y=2x+2 交于点 A(5, 12) (1)求该抛物线的解析式; (2)D 为 x 轴上方抛物线上一点,若DCO 与DBO 的面积相等,求D 点的坐标; (3)在线段AB 上是
7、否存在点P,过 P作 x 轴的垂线交抛物线于E 点,使得以P、B、E 为 顶点的三角形与 BOC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由 9 ( 2013?黄冈模拟)如图,已知抛物线对称轴为直线x=4,且与 x 轴交于 A、 B 两点( A 在 B 左侧) ,B 点坐标为( 6,0) ,过点 B 的直线与抛物线交于点C(3,) (1)写出点A 坐标; (2)求抛物线解析式; (3)在抛物线的BC 段上,是否存在一点P,使得四边形ABPC 的面积最大?若存在,求 出这个最大值及此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)若点 M 在线段 AB 上以每秒1 个单位长度的速度从A
8、向 B 运动,同时,点N 在射线 BC 上以每秒2 个单位长度的速度从B 向 C 运动,当其中一个点停止运动时,另一个点也随 之停止运动设运动时间为t 秒,当 t 为何值, MNB 为等腰三角形,写出计算过程 参考答案与试题解析 参考答案与试题解析 【解答】 解: (1)设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c , 抛物线经过A( 2,0) , B( 0,2) , C(,0)三点, ,解得, y=x2x+2 (2) AQPB,BOAP, AOQ= BOP=90 , PAQ=PBO, AO=BO=2 , AOQ BOP, OQ=OP=t 如图 1,当 t 2 时,点 Q 在点 B 下方,此时BQ
9、=2 t,AP=2+t BQ=AP, 2t=(2+t) , t= 如图 2,当 t2 时,点 Q 在点 B 上方,此时BQ=t 2,AP=2+t BQ=AP,t 2= ( 2+t) ,t=6综上所述, t= 或 6 时, BQ=AP (3) 当 t=1 时, 抛物线上存在点M (1, 1) ; 当 t=3+3 时,抛物线上存在点M( 3,3) 分析如下: AQ BP, QAO+ BPO=90 , QAO+ AQO=90 , AQO= BPO在 AOQ 和 BOP 中, , AOQ BOP, OP=OQ, OPQ 为等腰直角三角形, MPQ 为等边三角形, 则 M 点必在 PQ 的垂直平分线上,
10、 直线 y=x 垂直平分PQ, M 在 y=x 上,设 M(x,y) , , 解得或, M 点可能 为( 1,1)或( 3, 3) 如图 3,当 M 的坐标为( 1,1)时, 作 MD x 轴于 D, 则有 PD=|1t|, MP 2=1+|1t|2=t22t+2, PQ 2=2t2, MPQ 为等边三角形, MP=PQ , t2+2t2=0, t=1+,t=1(负值舍去) 如图 4,当 M 的坐标为( 3, 3) 时,作 MEx 轴于 E, 则有 PE=3+t, ME=3 , MP 2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2, MPQ 为等边三角形, MP=PQ , t 26t
11、18=0, t=3+3,t=33(负值舍去) 综上所述,当t= 1+时,抛物线上存在点M(1,1) ,或当 t=3+3时,抛物线上存在 点 M( 3, 3) ,使得 MPQ 为等边三角形 2 【解答】 解: (1) C (0,4) , OC=4 OA=OC=4OB , OA=4 ,OB=1, A (4, 0) ,B ( 1,0) ,设抛物线解析式:y=a( x+1) (x4) , 4=4a, a=1 y=x 2+3x+4 (2)存在若 ACP 是以 AC 为底的等腰三角形,则点P 在 AC 的垂直平分线上, OA=OC , AC 的垂直平分线OP 即为 AOC 的平分线,设P(m, m2+3m
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