20092017全国高中数学联赛分类汇编第11讲三角函数.pdf
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1、2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第11 讲:三角函数 1、 ( 2010 一试 2)已知函数xxaysin)3cos( 2 的最小值为3,则实数a的取值 范围是 . 【 答案】12 2 3 a 【解析】令txsin,则原函数化为taattg)3()( 2 ,即taattg)3()( 3 . 由3) 3( 3 taat,0) 1(3) 1( 2 ttat,0)3) 1()(1(tatt及01t知 03)1(tat即3)( 2 tta. (1) 当1,0t时( 1)总成立; 对 20, 10 2 ttt;对0 4 1 ,01 2 ttt.从而可知12 2 3 a. 2、 ( 2011
2、一试 4)如果)cos(sin7sincos 3355 ,)2, 0,那么的取值范围是 【答案】 4 5 , 4 3、 ( 2012一试 7)满足 11 sin 43n 的所有正整数n的和是 【答案】 33 【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,) 6 x时, 3 sin,xxx由此得 131 sin,sin, 1313412124 131 sin,sin. 10103993 所以 11 sinsinsinsinsin. 13412111039 故满足 11 sin 43n 的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33. 4、 (2014 一试 7)设等边三角形ABC的内切圆半径为2
3、,圆心为I.若点P满足1PI,则AB C与APC 的面积之比的最大值为_. 【答案】 3+5 2 其中, 00 =. 6 IAP 由 0 2 AP I知, 0 11 sin, 24 IP AIr 于是cot15,所以 13 sin()cossin cot315335 622 =. 2 13cot3153 sin() cossin 6 22 根据( 1) 、 ( 2)可知,当 0 PP时, APB APC S S 的最大值为 35 . 2 5、 ( 2015 二试 2)若实数满足costan,则 41 cos sin 的值为. 【答案】 2 【解析】由条件知, 2 cossin,反复利用此结论,
4、并注意到 22 cossin1,得 22 4222 1cossin cossin(1sin)(1cos)2sincos2 sinsin 6、 ( 2015 一试 7)设为正实数 ,若存在, (2 )a bab,使得sinsin2ab,则实数的取值范 围是 【答案】 9 513 ,) 4 24 w 【解析】由sinsin2wawb知sinsin1wawb,而,2,wa wbww故题目条件等价于:存 在整数()kl kl,使得222. 22 wklw 当4w时,区间,2ww的长度不小于4 ,故必存在k,l满足( 1)式 , 当04w时,注意到,20,8ww(),故仅需考虑如下几种情况: 5 )2,
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