经济数学基础作业答案..pdf
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1、经济数学基础作业答案 1:判断 3 fxx x 奇偶性 1解: 函数 3 fxx x 的定义域为(,),对于任意一个(,),x 有 3 3 3 () ()( ) () fxx x xf x x x x 所以 3 fxx x 为奇函数 2:判断函数 2 21yx的单调性 2 解 对任意的 1212 ,(,),x xxx且,有 22 1212 2222 1212 ()()21(21) 21 212() f xf xxx xxxx (1) 当 12 ,(,0x x时,则 12 ()()0f xf x,即 12 ()()f xf x,所以 2 21yx在(,0内是单调减少的。 (2)当 12 ,0,)
2、x x时,则 12 ()()0f xf x,即 12 ()()f xf x,所以 2 21yx在0,)内是单调增加的。 所以(,)内, 2 21yx在0,)内不是单调函数。 3 例如, sin cos ,cos 2 xx yx y x 都是初等函数 3 解 初等函数在其定义域都是连续的。由基本初等函数经过有 限次的四则运算或复合而成的函数叫初等函数。 4 下列函数是由哪些简单函数复合而成? (1) 2 lg(1)y x (2) cos 3 x y (3) 2 arctan(11)yx(4) 2 cos 3yx 4 解:(1)因为函数 2 lg(1)y x 的最后一步运算是对数运算,因此 对数的
3、真数部分的函数为中间变量u, 即 2 1u x , 则 2 l g ( 1)y x 由 2 lg,1yu u x 复合而成。由于 2 1u x 为多项式,可作为一个简 单函数,所以没有复合过程。 (2) cos 3 x y的最后一步运算是指数运算,把指数部分作为中间变 量u,即cosux,则 cos 3 x y由3 ,cos u yux复合而成。 () 2 arctan(11)yx的最后一步运算是反正切函数运算,于 是中间变量 2 11ux,即 u 是 1 与 2 1x之和。 2 1x又可看作 幂运算,所以又把位于幂函数底的函数作为中间变量v,即 2 1vx。因此, 2 arctan(11)y
4、x是由arctanyu,1uv, 2 1vx 复合而成。 (4) 2 cos 3yx是由 2, cos ,3yuuv vx复合而成。 5 解:销售收益 R是价格P与销售量Q的乘积,即 RPQ 将关系式10 5 Q P代入,即可得到 2 ( )(10)10 5 5 Q RR QQQ Q 6解根 据题 意 ,改 产品的 成本函 数为 01 ( )( )200 10CC QCC QQ 收益函数为 2 1501 ()75 22 Q RR QQQQ 所以利润函数为 2211 ()()()75(20010)65200 22 LL QR QC QQQQQQ 7 1111 0,1,1,1,1,.,1. 234
5、5 ( 1) n n 。 当n无限增大时,由于 ( 1) n n 无限接近于常数0,所以其通项 1 ( 1) n n n y 就无限接近与常数1,即该数列以 1 为极限,可记作 11 ( 1) lim n nn 8 解 当n时, 1 ( ) 1 f n n 无限接近于一个确定的数0,所以 0 是数列 1 1n 的极限,即 1 lim0 1 n n 9 解:函数 1 ( ) 2 x y的图形如图所示。由该图可看出 ,0 11 ( )( )limlim 22 xx xx 由极限( ) lim x fx存在的充分必要条件知 1 ( )lim 2 x x 不存在 10 解因为 2 22 253 ( )
6、2 11 x f x xx ,所以当x时,对应的 函数值 23 ( )2 1 f x x 无限接近于常数2,故 2 2 25 lim2 1 x x x 11 解:因为 1 sin1, x 所以 1 sin x 是有界变量;又 0 0, lim x 即x在 0x时为无穷小量。所以,当0x时 1 sinx x 是有界函数与无穷小 量的乘积。根据性质2 得,在时为无穷小量,即 0 1 sin0 lim x x x 12 解因为 2 1 lim(1)0 x x,即函数 2 11xx在时为无穷小量, 由定理得, 2 1 1 1 x x 在时为无穷大量,所以 2 1 1 lim 1 x x = 13 解:
7、 33 1111 (432).432 limlimlimlim xxxx xx xx 3 11 42 3limlim xx x x 3 4324323 1 lim x x 14 解 因为 22 2222 lim(367)3(lim)6limlim77 xxxx xxxx 222 lim(49)4limlim9170 xxx xx 所以 2 2 2 2 2 lim(367) 3677 lim 49lim(49)17 x x x xx xx xx 15 解: sin3sin3 tan53 00 133 tan5 55 5 limlim xx xx xx x x 16 解 2 222 22 0000
8、 2 2sinsinsin 1cos111 222 limlimlimlim 222 ( ) 22 xxxx xxx x xx xx 17 解令ux,则当x时,u,所以 1111 lim(1)lim(1)lim 1 (1) xu xuu u xue u 18 解 令 x u= 2 ,则当x时,u,于是 1010 510102111 lim(1)lim(1)lim1lim 1 uu xu xuuu e xuuu 19解( )0f xx在处 有 定 义 , 且( 0 )f, 但 是 2 00 00 lim( )lim()0 lim( )lim(24)4 xx xx f xxx f xx 因此 00
9、 lim( )lim( ) xx f xfx,从而 0 lim( ) x fx不存在,所以点0x是 ( )f x的间断点。 20 解: (1)在处,当自变量有改变量时,函数相应的改变量 2 3 23 126 ( (2) 2 )() y x x xx 于是,由导数定义 0 2 0 ( 2)( 2 ) ( 2 ) 1 261 2 l i m () lim x x fxf f x x x (2)对任意点,当自变量的改变量为,因变量相应的改 变量 2 3 23 2 33( () )() y xx xx x xxx 于是,导函数 3 3 0 2 22 0 ( ) 33(3 () lim ) lim x
10、x fx x xx xxx x xx 由上式 2 3 (3)327. x f x 注意到本例中,函数 3 y x 的导数 33 12 ()33y xxx 。若n是 正整数,对函数 n y x ,类似的推导,有 1 () nn yn xx 特别地,当1n时,有 1 10 ( )11yx xx 21 解:由代数和的导数法则 2 2 1 2 2 2 1 2 (logcos) 4 ()()()(log)(cos) 4 11 2ln 20 2ln 2 11 2ln 2. ln 2 2 2 2 2 2 x x x x yxx x x x x x x x xx x 注意:cos 4 是常数,其导数是0,避免
11、错误:(cos)sin 44 22 解 sin (5sin)5(sin)5() sin(sin) 5(cos ) 2 x yxxxxxxxxxx x 23 解 22 sin 2ln2sincosln 2(sincosln)2(sin)coslnsin(cos )lnsincos (ln) 1 2(coslnsinlnsincos ) yxxxxx yxxxxxxxxxxxx xxxxxx x 24 解:将已知函数看成是有下列函数构成的复合函数: ( )sin,( )3yf uu uxx 于是 ( )( )(sin) (3 ) cos33cos3 yfuxux ux 注意:在求复合函数的导数时,
12、若设出中间变量,已知函数要对 中间变量求导数, 所以计算式中出现中间变量,最后必须将中间 变量以自变量的函数还原。 25 解 复合函数 210 (27)yx可以看作由函数 102 27yuux与复合 而成,由复合函数求导法则得 102929 () (27)10(4 )40 (27)yuxuxxx 26 解:先求一阶导数,在求二阶导数 2 2 , x yx e 22 222 xx yxx ee 2 2 2(12) x ex 当0x时, 2 2 00 2(12)2 xx x y ex 。 27 解 cos(sin)(cossin) (cossin)(cossin)2sin 2sin2cos2(co
13、ssin) xxx xxx xxx yexexexx yexxexxex yexexexx 28 解: 函数( )f x的定义域是(,), 在区间(,)内,因( )0,fx且仅在1x时( )0fx,故该函数在 其定义域内单调增加 29 解 函数 3 ( )f xx的定义域为(,),导数 32 1 ( ) 3 fx x ,除了不 可导点0x以外,均有( )0fx,故 3 ( )f xx在区间(,)内单调 增加。 30 解:函数的定义域是(,). 2 ( )3183 (6).fxxx x x 由( )0fx得驻点 1212 0,6,0,6xxxx将函数的定义域分成三个部 分区间(,0),(0,6)
14、,(6,)。列表判定极值 x (,0) 0 (0,6) 6 (6,) ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 极大值极小值 由表知,(0)2f是极大值,(6)106f是极小 值 31解函 数 2 3 3 ( ) 2 f xxx的 定 义 域 为(,), 由 导 数 13 3 3 1 ( )1 x fxx x 可得驻点1x,不可导点0x,据此对定义域(,)分段讨论, 列表如下 x (,1) 0 (0,1) 1 (1,) ( )fx + 不存在- 0 + ( )f x 极大值 0 极小值 1 2 由表可知, 函数( )f x在区间(,1),(1,)内单调增加, 在区间(0,1) 内单调减少,
15、在0x处取得极大值(0)0f,在1x处取得极小值 1 (1) 2 f。 32 解: 这是在容积一定的条件下,使用料最省。即在效益一定 的条件下,要求所给条件最少的问题。 用料最省,就是使易拉罐的表面积最小,这是我们的目标, 而表面积依赖于底面半径和侧面高度,如图: 设易拉罐的底面半径为r cm,高为 h cm, 表面积为 A cm 2 则 A=两底圆面积 +侧面面积 = 2 22 rh r 由于易拉罐的容积为500 cm3,所以有 2 2 500 500,hh r r 于是,表面积A 与底面半径 r 的函数关系为 21000 2,(0,)Ar r r 由 3 22 4(250)1000 40
16、dA r dr r rr 可得唯一驻点 3 250 4.3013rcmcm 又当 3 250 (0,)r时0, dA dr 当 3 250 (,)r时0, dA dr 故 3 250 r是极小 值,也是取最小值的点。 又上面 h 的表达式 3 2 500250 228.6026hcmcmrcmcm r 因此,当4.3013,8.6026,rcm hcm即易拉罐的底面直径和高相 等时用料最省,这个结论具有一般性。 33 解: 利润函数是目标函数,其为 ()()()QR QC Q 22 300.75(0.3930)QQ QQ 2 211.0530.Q Q 因 0,010, 212.10,10, 0
17、,10; Q d QQ dQ Q 故产量10Q时,利润最大 由总收益函数得价格函数 2 300.75 () () Q R Q PP Q QQ Q 300.75Q 从而利润最大时,商品的价格 300.75 1022.5P 34 解 (1) 55 5 11 , () 555 pp p PP QePe e (2 ) 356 (3)0.6,(5)1, (6)1.2 555 (5)1,说明当5p时,价格与需求变动的幅度相同。 (3)0.61说明当3p时,需求变动的幅度小于价格变动的幅 度,即3p时,价格上涨1,需求只减少0.6 (6)1.21,说明当6p时,需求变动的幅度大于价格变动的幅 度,即当6p时
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- 经济 数学 基础 作业 答案
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