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1、精心整理 页脚内容 第一讲:因式分解一提公因式法 【知识要点 】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3分解因式的一些注意点 (1)结果应该是的形式;(2)必须分解到每个因式都不能为止; (3)如果结果有相同的因式,必须写成的形式。 4公因式 多项式中各项都含有的公共的因式,我们把这个因式叫做这个多项式的. 5.提公因式法 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做 提公因式法 . 6.确定公因式的方法 (1)系数公因式
2、 :应取多项式中各项系数为; (2)字母公因式 :应取多项式中各项字母为. 【学堂练习 】 1. 下列各式从左边到右边的变形, 哪些是分解因式 , 哪些不是 ? (1) 1 1( 22 x xxx;(2)1)5)(5(2 2 aaba (3) 22 )(nmnmnm(4) 22 )2(44xxx (5)23(23 2 yxxxxyx(6)32)1)(3( 2 xxxx 2把下列各式分解因式 (1)aaba369 2 (2) 4324 264xyyxyx 例 1、把下列各式分解因式 (1))2(3)2(2yxbyxa(2))2(4)2(3)2(2yxcxybyxa (3) 32 )2()2(2x
3、ybyxa(4) 32 )3(25)3(15abbab (5) 432 )(2)(3)(xyxyyx(6) nmnm xbxaxbxa)()()()( 11 例 2利用分解因式计算 精心整理 页脚内容 (1)5.12346 .45 .12347.115.12349.2(2) 99100 9899 22 22 例 3已知2, 3 2 abba,求代数式 2222 2abbaba的值。 例 4、利用因式分解说明: 127 636能被 140 整除。 【随堂练习 】 1下列各式从左到右的变形中是因式分解的是() A、2)(1( 2 aabaa B、) 1 )( 1 ( 2 2 y x y x y x
4、 C、)(yxyxyxD、 2 )2(4)4(mmm 2已知二次三项式cbxx 2 2分解因式)1)(3(2xx,则cb,的值为() A、1, 3 cbB、2,6 cbC、4,6 cbD、6,4 cb 3下列各式的公因式是a的是() A、 5ayax B、 2 64mama C、 aba105 2 D、 maaa4 2 4将)()(3yxbyxa用提公因式法分解因式,应提出的公因式是() A、ba3B、)(3yxC、yxD、ba3 5把多项式)2()2( 2 amam分解因式的结果为() A、)(2( 2 mmaB、)(2( 2 mmaC、)1)(2(mamD、)1)(2(mam 6多项式 x
5、yyx 2 2 的公因式是;多项式是 3232 96cabba的公因式是。 7分解因式: 2 xyxy=。 333 )()()(nmmnbnma()。 8已知:1000,133 abba。 22 abba的值为。 9把下列各式分解因式 (1) 2222 262abbaba(2) 3222322 9123bcacbabca (3))()(yxbyxa(4))()(2 2 yxxxy 【课后强化】 143 2 mxx分解因式为)1)(43(xx,则m的值为。 精心整理 页脚内容 2xynxymxyxy3963())()()(axcxabaxa。 3把下列各式分解因式 (1)xyzxyyx1263
6、22 (2))(6)(3 2 xyxyxx (3) 23 )(4)(2xyyx(4) 2 )()(baababaa 第二讲:因式分解公式法、分组分解法 1乘法公式逆变形 (1)平方差公式:)( 22 bababa (2)完全平方公式: 222222 )(2,)(2babababababa 2. 常见的两个二项式幂的变号规律: 22 ()() nn abba; 2121 ()() nn abba(n为正整数) 3把一个多项式分解因式,一般可按下列步骤进行: (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; (2)如果多项式没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3)如果上述方法不能分解,那么
7、可以尝试用分组分解方法。 【学堂练习 】 1、如果259 2 kxx是一个完全平方式,那么k的值是() A15B15C30D30 2、下列多项式,不能运用平方差公式分解的是() A、4 2 mB、 22 yxC、1 22 yxD、 22 amam 3、把下列各式分解因式: (1) 22 4ba(2) 2 916a(3)116 22 yx (4)3612 2 mm(5) 22 4 1 yxyx(6) 22 2yxyx (7) 22 xyaxay(8) 42 469xaa 【经典例题 】 例 1用 公式法 分解因式: ( 1) 22222 4)(baba(2) 22 )3()2(yx ( 3)44
8、 22 abba(4)168 24 xx (5) 22 )2(25)1(16xx(6)9)(6)( 222 xxxx 分组分解法 精心整理 页脚内容 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法 分组后能运用公式(一三分组 ) yxyx 22 12 22 yxyxa 2 b2 c22bc 分组后能提公因式(二二分组 )ax aybxbyabc bac 练习: 把下列多项式分解因式: 1. (1)1abab(2)a 2abacbc 2. (1) 2 7321xyxyx(2)263acadbcbd 3. (1) 22 926abab(2) 22 42xxyy 4. (1)a 22
9、abb2c2(2)222 9124cbcba 课外延伸 1用分组分解法把abcbac 分解因式分组的方法有() A 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 2. 用分组分解a 2b2c22bc 的因式,分组正确的是() 3填空: (1)axaybxby=(axay)()=()() (2)x22y4y2x=()()=()() (3)4a 2b24c24bc=()()=()() 4用 分组分解法 分解因式 (1)44axayxy(2) 22 9816aabb (3)baba44 22 (4) 2 222 22abcdadbc 5用 合适的方法 分解因式: ( 1) 4242 55bmam
10、( 2) 2222 31212mnmnm ( 3))()(4 22 mnbnma(4))(12)(94 22 nmmnmm 6利用分解因式计算: (1)433.1922.1 22 (2) 22 98196202202 7若 3223 , 2,3babbaaabba求值。 【随堂练习 】 1对于多项式 532 1xxx有如下四种分组方法:其中分组合理的是() 532 ()(1)xxx 523 ()(1)xxx 532 ()1xxx 532 (1)xxx A B C D 2.ABC 的三边满足a 4+b2c2-a2c2-b4=0,则 ABC 的形状是 _. )2().( )2().( 222 22
11、2 bccbaC bcbcaA )2(. 2).( 222 222 bccbaD bccbaB 精心整理 页脚内容 3.已知2ba,利用分解因式,求代数式 22 2 1 2 1 baba。 4、分解下列因式: (1) 3x 312x2 36x(2)222 4)1(xx (3)mmnnm22 2 (4)a 22ab b2 ab 5、计算:( 1)200420022003 2 (2) 119899 4555 2 22 【课后强化】 (1)28 2 x(2) 22 916ba(3)baabba 23 2 (4) 222 4)1(xx(5) 22 2yxyxyx 第三讲因式分解十字相乘法 十字相乘法
12、一、qpxx 2 型的二次三项式因式分解: (其中pab,qab) 一、利用十字相乘法将下列各式因式分解 (1)、 x27x6(2)、 x25x6(3)、 x25x6 (4)、 a24a21(5)、 t22t8(6)、 m24m12 (7)、34 2 xx(8)、76 2 xx(9)1312 2 xx (10)、1110 2 aa(11)、158 2 xx(12)、 x 27x6 (13)、 x45x26(14)、 m46m 28(15)、 x410x29 (16)、4)(3)( 2 baba(17)、12)2(8)2( 2 yxyx (18)、24)5(10)5( 222 xxxx(19)、
13、242112 2 2 2 xxxx 二、二次三项式 cbxax 2 的分解: 如果二次项系数a 分解成 1 a 、 2 a ,常数项c 分解成 1 c 、 2 c ;并且 1221 caca等于一次项系数 b, 那么二次三项式: 借助于画十字交叉线排列如下: 二、利用十字相乘法将下列各式因式分解 1把下列各式分解因式 ( 4)9m26m 2n n2(5)4x24xya 2y2 (6) 1m2 n 22mn (7)43 2 mm(8)30 2 xx(9)152 2 xx (10)2410 2 xx(11)2414 2 xx(12)x 2xy12y2 (13) x2 13xy36y2(14)a2a
14、b12b 2(15) 36213 2 xx xyxyx21565) 1( 2 1243)3( 22 axaxbaaba3217)2( 2 精心整理 页脚内容 (16)127 24 xx(17) 22 82yxyx(18) 22 34baba 因式分解的一般步骤:一提二代三分组 、如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式; 、提取公因式以后或没有公因式,再考虑公式法或十字相乘法; 、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式,再考虑能否用十字相乘法; 、用以上方法不能分解的三项以上的多项式,考虑用分组分解法。 因式分解几点注意与说明: 、因式分解要进行到不能再分解为止; 、结果中相同因式应写成幂的形
15、式; 、根据不同多项式的特点,灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难 点,因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 因式分解综合复习 【考点分析 】 考点 1:分解因式的意义 1、下列从左到右的变形 ,属于分解因式的是 () A.(x+3)(x 2)=x 2+x6B.axay+1=a(xy)+1 C.x 2 2 1 y =(x+ y 1 )(x y 1 )D.3x 2+3x=3x(x+1) 2、若多项式 x 2+ax+b 可分解为 (x+1)(x2),试求 a、b 的值。 考点 2:提公因式法分解因式 1多项式 6a 3b23a2b221a2b3 分解因式时,应提取的公因
16、式是() A.3a 2bB.3ab2 C.3a 3b2D.3a2b2 2把多项式 2(x2) 2(2x)3 分解因式的结果是() A.(x2) 2(4x)B.x(x2)2 C.x(x2) 2D.(x2)2(2x) 3下列各组代数式没有公因式的是() A5a5b 和 baBax+1 和 1+ay C(ab) 2 和a+bDa2b2和(a+b)(a+1) 4、分解下列因式 (1)8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3(2)x2y(xy)+2xy(yx) 精心整理 页脚内容 (3)16(xy) 224xy(yx)(4) xyyyxx39327 22 考点 3:运用公式法分解因式 1如果259
17、2 kx x 是一个完全平方式,那么k 的值是( ? ) A、?15?B 、? 5?C 、?30?D?30 2.(2009年北京)分解因式: 22 4914baba=。 (2005 年上海市)分解因式: 44 16nm=。 3、分解下列因式: (1) 22 3 3 1 nm(2)4914 22 abba (3) 22 169baba(4)16249 2 baba 考点 4:分组分解法分解因式 (1)yyxx 22 24(2)1494 22 mnm (3) 22 (1)(1)4abab(4) 22 44caa 考点 5:综合运用提公因式法、公式法分解因式 1、(1)分解因式: 4m 3 -m=;
18、 (2)分解因式: 8x 2 y-8xy+2y=。 2、分解下列因式: (1)8a42a2(2)mnynmx 22 9 (3) 222 ()4()abmba(4) 22 (161)(116 )axybyx 考点 6:分解因式的应用 1、利用因式分解方法计算: (1)4.45 13.7 445 0.88944.5 0.26(2) 22 8001600798798 2、已知6,7baab,求 22 a bab的值。 3、ABC 的三边满足 a 2-2bc=c2-2ab,则 ABC 是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、锐角三角形 4、若a为整数,证明1)12( 2 a能被
19、8 整除。 【随堂小测 】 1、下列各式中从左到右的变形,是因式分解的是() (A)( a+3)(a-3)=a 2-9(B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1 精心整理 页脚内容 (C)a 2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+ x 1 ) 2、把多项式 m 2(a-2)+m(2-a)分解因式等于() (A)( a-2)(m 2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1) 3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是() (A)- a 2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p2 4、下列多项式中,不
20、能用完全平方公式分解因式的是() (A) 4 1 2 m m(B) 22 2yxyx(C) 22 4914baba(D)1 3 2 9 2 n n 5、把多项式apap11 2 分解因式的结果是() A、ppa 2 1B、ppa 2 1C、11 papD、11 pap 6、已知yxyxyx则,01062 22 () A、2B、2 C、4D、4 7、若三角形的三边长分别为a、b 、c,满足0 3222 bcbcaba,则这个三角形是() A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、三角形的形状不确定 6、已知 x+y=6,xy=4,则 x 2y+xy2 的值为。 7、分解因式: m 3-
21、4m=。 8、若 ax 2+24x+b=(mx-3)2,则 a=,b=,m=。 9、16(xy) 224xy(yx)=8(xy)() 10、分解下列因式: (1) 3234 241228x yx yxy(2) 222 4)1(aa 11、若 3223 ,2,3babbaaabba求值。 快乐体验 一、选择题、填空题: 1、65 2 xx可以分解因式为 2、已知1999)1998)(2000(aa,那么 22 )1998()2000(aa; 3、把代数式aaxax44 2 分解因式, 二、分解因式: 、454 2 xx、120010 2 nn 、 222 42bcaba、44 22 xyxxyyx 3 精心整理 页脚内容 三、(能力提升)把下列多项式分解因式: 、 2222 )(22)(bababa、12)52)(32( 22 xxxx 、632 23 xxx、 113 7522 nnn aaa(n为正整数) 2、已知:21 20 1 ,19 20 1 ,20 20 1 xcxbxa,求:acbcabcba 222 的值;
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