基本不等式完整版.pdf
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1、一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若Rba,,则abba2 22 (2)若Rba,,则 2 22 ba ab 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若 * ,Rba,则abba2 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若 * ,Rba,则ab ba 2 (2)若 * ,Rba,则 2 2 ba ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中, 当且仅当ba时取“=” 4、求最值的条件: “一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x,则 1 2x x ( 当且仅当1x时取“ =” ) (2) 若0x, 则
2、 1 2x x ( 当且仅当1x时取 “=” ) (3) 若 0ab , 则 2 a b b a ( 当且仅当 ba 时取“=” ) (4)若Rba,,则 2 ) 2 ( 22 2baba ab (5)若 * ,Rba,则 22 11 1 22 baba ab ba 特别说明:以上不等式中,当且仅当ba时取“ =” 6、柯西不等式 (1) 若, , ,a b c dR, 则 22222 ()()()abcdacbd (2)若 123123 ,a aab b bR,则有: 2222222 12311231 1223 3 ()()()aaabbba ba ba b (3)设 1212 , nn a
3、 aabb与b是两组实数,则有 222 12 ( n aaa) 222 12 ) n bbb( 2 1122 () nn a ba ba b 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设ba,均为正数,证明不等式:ab ba 11 2 2 、 已 知 cba, 为 两 两 不 相 等 的 实 数 , 求 证 : cabcabcba 222 3、已知1abc,求证: 2221 3 abc 4、已知, ,a b cR , 且1abc, 求 证 : abccba8)1)(1)(1( 5、已知, ,a b cR , 且1abc, 求 证 : 111 1118 abc 6、(2013 年新课标
4、卷数学(理)选修 45:不等式选讲 设均为正数 , 且, 证明 : ( ); (). 7、(2013 年江苏卷(数学)选修 45:不等式选讲 已知0ba,求证 :baabba 2233 22 题型二:利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 (1) 2 2 2 1 3 x xy(2))4(xxy (3))0( 1 x x xy(4))0( 1 x x xy 题型三:利用不等式求最值(一) (凑项) 1、已知2x,求函数 42 4 42 x xy的最小值; 变式 1:已知 2x ,求函数 42 4 2 x xy的最小值; 变式 2:已知 2x ,求函数 42 4 2 x xy的最大值; 练习:
5、1、已知 5 4 x,求函数 1 42 45 yx x 的最小值; 2、已知 5 4 x,求函数 1 42 45 yx x 的最大值; 题型四:利用不等式求最值(二) (凑系数) 1、当时,求(82 )yxx的最大值; 变式 1:当时,求4 (82 )yxx的最大值; 变式 2:设 2 3 0x,求函数)23(4xxy的最大值。 2、若02x,求yxx()63的最大值; 变式 :若 40x ,求)28(xxy的最大值; 3、求函数 ) 2 5 2 1 (2512xxxy的最大值; (提示:平方,利用基本不等式) 变式: 求函数 ) 4 11 4 3 (41134xxxy 的最大值; 题型五:巧
6、用“ 1”的代换求最值问题 1、已知12,0,baba,求t ab 11 的最小值; 法一: 法二: 变式 1: 已知22,0,baba, 求t ab 11 的最小值; 变式 2:已知 28 ,0,1x y xy ,求xy的最小值; 变式 3: 已知0, yx, 且 11 9 xy , 求xy的最小值。 变式 4:已知0, yx,且 19 4 xy ,求xy的最小值; 变式 5: (1)若0, yx且12yx,求 11 xy 的最小值; (2) 若Ryxba, 且 1 y b x a , 求yx的最小值; 变式 6:已知正项等比数列 n a 满足: 567 2aaa,若 存在两项 nm aa
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