2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)变化率与导数、导数的计算(含解析).pdf
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1、第十一节变化率与导数、导数的计算 知识能否忆起 一、导数的概念 1函数 y f(x)在 xx0处的导数 (1)定义: 称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 lim x0 f x0 x f x0 x lim x0 y x为函数 y f(x)在 xx0 处的导数,记作 f (x0)或 y|xx0, 即 f(x0) lim x0 y x lim x0 f x0 x f x0 x . (2)几何意义: 函数 f(x)在点 x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 (x0, f(x0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间 t 的导数 ) 相应地,切线方程为y f(x
2、0)f(x0)(xx0) 2函数 f(x)的导函数 称函数 f(x) lim x0 f x x f x x 为 f(x)的导函数 二、基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x) c(c 为常数 )f(x)0 f(x)x n(nQ*) f(x)nx n1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x) sin_x f(x)a x f(x)a xln_a f(x)e x f(x)e x f(x)logax f(x) 1 xln a f(x)ln x f(x)1 x 三、导数的运算法则 1f(x) g(x) f(x) g (x); 2f(x) g(x) f (x)g(x)f
3、(x)g(x); 3. f x g x f x g x f x g x g x 2(g(x)0) (理)4.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),u g(x)的导数间的关系为yx yu ux, 即 y 对 x 的导数等于y 对 u 的导数与u 对 x 的导数的乘积 小题能否全取 1(教材习题改编)若 f(x)xe x,则 f(1)( ) A0B e C2e D e 2 解析: 选 C f(x)e xxex, f (1)2e. 2曲线 y xln x 在点 (e,e)处的切线与直线xay1 垂直,则实数a 的值为 () A2 B 2 C.1 2 D 1 2 解析: 选 A
4、依题意得y 1ln x,y |xe 1ln e2,所以 1 a2 1, a2. 3(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)2t 31 2gt 2 (g 10 m/s 2),则当 t 2 s时,它 的加速度是 () A14 m/s 2 B 4 m/s 2 C10 m/s 2 D 4 m/s 2 解析: 选 A由 v(t)s(t)6t2gt,a(t)v(t)12t g,得 t2 时, a(2) v(2) 1221014(m/s 2) 4(2012 广东高考 )曲线 yx 3 x3 在点 (1,3)处的切线方程为 _ 解析: y3x2 1, y |x131212. 该切线方程为y 32(x1),即
5、 2xy10. 答案: 2xy10 5函数 y xcos x sin x 的导数为 _ 解析: y(xcos x) (sin x) xcos xx(cos x)cos x cos xxsin xcos x xsin x. 答案: xsin x 1.函数求导的原则 对于函数求导, 一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时, 不但要重视求导 法则的应用, 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时, 首先必须注意变 换的等价性,避免不必要的运算失误 2曲线 y f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线 ”与“过点 P(x0,y0)的切线 ”的区别与 联系 (1)曲线 yf(x)在点 P
6、(x0, y0)处的切线是指P 为切点,切线斜率为k f(x0)的切线, 是唯一的一条切线 (2)曲线 yf(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点点 P 可以是切点,也可以不 是切点,而且这样的直线可能有多条 利用导数的定义求函数的导数 典题导入 例 1用定义法求下列函数的导数 (1)y x 2; (2)y 4 x 2. 自主解答 (1)因为 y x f x x f x x x x 2x2 x x 22x x x 2x2 x 2x x, 所以 ylim x0 y x lim x0 (2x x)2x. (2)因为 y 4 x x 2 4 x 2 4 x 2x x x 2 x x 2
7、 , y x 4 2x x x 2 x x 2, 所以lim x0 y x lim x042x x x 2 x x 2 8 x 3. 由题悟法 根据导数的定义,求函数yf(x)在 xx0处导数的步骤 (1)求函数值的增量 yf(x0 x)f(x0); (2)求平均变化率 y x f x0 x f x0 x ; (3)计算导数f(x0)li m x0 y x. 以题试法 1一质点运动的方程为s83t 2 . (1)求质点在 1,1 t这段时间内的平均速度; (2)求质点在t1 时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解) 解: (1)s83t 2, s83(1 t)2(8 312) 6 t3(
8、t)2, v s t 63 t. (2)法一 (定义法 ):质点在t1 时的瞬时速度 vli m t0 s t li m t0 (63 t) 6. 法二 (导数公式法 ):质点在t 时刻的瞬时速度 vs(t)(83t 2 ) 6t. 当 t1 时, v 61 6. 导数的运算 典题导入 例 2求下列函数的导数 (1)y x 2sin x;(2)ye x1 e x1; 自主解答 (1)y(x 2) sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)y e x1 ex 1 ex1 ex1 e x12 e x e x1 ex1 ex e x12 2ex e x12. 则 y(ln u
9、) u 1 2x 5 2 2 2x5, 即 y 2 2x5. 由题悟法 求导时应注意: (1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量 (2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的导数法则,减少失误 以题试法 2求下列函数的导数 (1)y e x ln x; (2)y x x21 x 1 x 3 ; 解: (1)y(ex ln x) e xln xex1 xe x ln x 1 x . (2)yx 311 x 2, y3x 22 x 3. 导数的几何意义 典题导入 例 3(1)(2011山东高考 )曲线 yx 311 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐
10、标 是() A 9B 3 C9 D 15 (2)设函数 f(x)g(x)x 2,曲线 yg(x)在点 (1,g(1)处的切线方程为 y2x 1,则曲线 yf(x)在点 (1,f(1)处切线的斜率为() A 1 4 B2 C4 D 1 2 自主解答 (1)y3x 2,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y 12 3(x1),令 x0 得 y9. (2)曲线 yg(x)在点 (1, g(1)处的切线方程为y2x1, g(1)k2. 又 f(x)g (x)2x, f(1)g(1)2 4,故切线的斜率为4. 答案 (1)C(2)C 若例 3(1)变为:曲线yx311,求过点P(0,
11、13)且与曲线相切的直线方程 解: 因点 P 不在曲线上,设切点的坐标为(x0,y0), 由 yx311,得 y3x2, ky|xx03x2 0. 又 k y0 13 x00 , x 3 01113 x0 3x2 0. x3 0 1,即 x0 1. k3,y010. 所求切线方程为y103(x 1), 即 3xy130. 由题悟法 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率 k,即求该点处的导数值:kf(x0); (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1)k; (3)已知切线过某点M(x1,f(x1)(不是切
12、点 )求切点,设出切点A(x0,f(x0),利用k f x1f x0 x1x0 f(x0)求解 以题试法 3(1)(2012新课标全国卷 )曲线 yx(3ln x1)在点 (1,1)处的切线方程为_ (2)(2013乌鲁木齐诊断性测验)直线 y 1 2xb 与曲线 y 1 2xln x 相切,则 b 的值为 () A 2 B 1 C 1 2 D 1 解析: (1)y3ln x1 3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y 14(x1),即 y4x3. (2)设切点的坐标为a, 1 2a ln a , 依题意, 对于曲线 y 1 2xln x, 有 y 1 2 1 x, 所以
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