2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)双曲线(含解析).pdf
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1、双_曲_线 知识能否忆起 1双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0) y 2 a 2 x 2 b 21(a0,b0) 图形 性质 范围xa 或 x ay a 或 ya 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 对称轴: 坐标轴对称中心:原 点 顶点A1( a,0),A2(a,0) A1(0, a),A2(0,a) 渐近线y b ax y a bx 离心率e c a,e (1, ),其中 c
2、 a2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段 B1B2叫做双曲线 的虚轴,它的长|B1B2|2b; a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的 虚半轴长 通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为 2b 2 a a、 b、c 的关系c 2a2b2(ca0,cb0) 小题能否全取 1(教材习题改编)若双曲线方程为x 22y21,则它的左焦点的坐标为 () A. 2 2 ,0B. 5 2 ,0 C. 6 2 ,0D.()3,0 解析: 选 C双曲线方程可化为x2 y 2 1 2 1, a21,b21 2.c 2a2b23 2,c 6 2 . 左焦点坐标为 6 2
3、,0 . 2(教材习题改编)若双曲线 x 2 a 2y 21 的一个焦点为 (2,0),则它的离心率为 () A. 2 5 5 B.3 2 C.2 3 3 D 2 解析: 选 C依题意得a 214,a23, 故 e 2 a 2 2 3 23 3 . 3设 F1,F2是双曲线 x2 y 2 241 的两个焦点, P 是双曲线上的一点, 且 3|PF1|4|PF2|, 则 PF1F2的面积等于 () A4 2 B8 3 C24 D48 解析: 选 C由 P 是双曲线上的一点和3|PF1|4|PF2|可知, |PF1|PF2|2,解得 |PF1| 8, |PF2|6.又|F1F2|2c10, 所以
4、PF1F2为直角三角形, 所以 PF1F2的面积 S 1 2 68 24. 4 双曲线 x 2 a 2y 21(a0)的离心率为 2, 则该双曲线的渐近线方程为_ 解析: 由题意知 a 2 1 a 1 1 a 22,解得 a3 3 ,故该双曲线的渐近线方程是3 x y0,即 y 3x. 答案: y 3x 5已知 F1(0, 5),F2(0,5),一曲线上任意一点M 满足 |MF1| |MF2|8,若该曲线的 一条渐近线的斜率为k,该曲线的离心率为e,则 |k| e_. 解析: 根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支, c5,a4, b3,e c a 5 4,|k| 4 3.
5、 |k| e 4 3 5 4 5 3. 答案: 5 3 1.区分双曲线与椭圆中a、b、 c 的关系,在椭圆中a 2b2c2,而在双曲线中 c 2 a2 b 2.双曲线的离心率 e 1;椭圆的离心率e(0,1) 2渐近线与离心率: x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 b a b 2 a 2 c 2 a2 a 2e 2 1.可以看出, 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小 注意 当 ab0 时,双曲线的离心率满足10 时, e2(亦称为等轴双曲线); 当 ba0 时, e2. 3直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,
6、直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之, 当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有 一个交点 双曲线的定义及标准方程 典题导入 例 1(1)(2012湖南高考 )已知双曲线C: x 2 a 2 y 2 b 2 1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近 线上,则 C 的方程为 () A. x 2 20 y 2 5 1B.x 2 5 y 2 201 C. x 2 80 y 2 201 D. x 2 20 y 2 801 (2)(2012辽宁高考 )已知双曲线x 2y21,点 F 1,F2为其两个焦点,点 P 为双曲线上一 点,若 PF1PF2,则 |PF1|PF2|的值为 _ 自主解答
7、 (1) x 2 a 2 y 2 b 21 的焦距为10, c5a2b2. 又双曲线渐近线方程为y b ax,且 P(2,1)在渐近线上, 2b a 1,即 a2b. 由解得a25,b5. (2)不妨设点P 在双曲线的右支上,因为PF1 PF2, 所以 (22)2|PF1|2|PF2|2, 又因为 |PF1|PF2|2,所以 (|PF1| |PF2|)24,可得 2|PF1| |PF2| 4, 则(|PF1| |PF2|) 2|PF 1| 2|PF 2| 22|PF 1| |PF2| 12,所以 |PF1|PF2|2 3. 答案 (1)A(2)23 由题悟法 1应用双曲线的定义需注意的问题 在
8、双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点 )具备的几何条件,即“到两定点(焦点 )的 距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去 掉,点的轨迹是双曲线的一支 2双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx 2ny21(mna0),O 为坐标原 点,离心率e2,点 M(5,3)在双曲线上 (1)求双曲线的方程; (2)若直线 l 与双曲线交于P, Q 两点,且OPOQ0.求 1 |OP| 2 1 |OQ| 2 的值 自主解答 (1) e2, c2a,b 2c2a23a2, 双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 3a 21,即 3x 2
9、y23a2 . 点 M(5,3)在双曲线上,1533a2.a24. 所求双曲线的方程为 x 2 4 y 2 121. (2)设直线 OP 的方程为 ykx(k0),联立 x 2 4 y 2 121,得 x 2 12 3k 2, y 212k 2 3k 2, |OP| 2x2 y212 k 21 3k 2. 则 OQ 的方程为y 1 kx, 同理有 |OQ|2 12 1 1 k 2 3 1 k 2 12 k 21 3k 21 , 1 |OP| 2 1 |OQ| 23 k 2 3k2 1 12 k 21 22k 2 12 k 21 1 6. 由题悟法 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线
10、方程,然后把直线方程和双曲线 方程组成方程组,消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程利用根与系数的关系,整体 代入 2与中点有关的问题常用点差法 注意 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 以题试法 3(2012 长春模拟 )F1,F2分别为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a 0,b0)的左,右焦点,过点 F2 作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 M,满足 | 1 MF,|3| 2 MF,|,则此双曲线的渐近线方 程为 _ 解析: 由双曲线的性质可得| 2 MF,|b,则 | 1 MF,|3b.在 MF1O 中, |OM ,| a, | 1 OF,|
11、 c, cos F1OM a c ,由余弦定理可知 a 2c2 3b2 2ac a c,又 c 2a2b2,所以 a22b2,即b a 2 2 ,故此双曲 线的渐近线方程为y 2 2 x. 答案: y 2 2 x 1(2013 唐山模拟 )已知双曲线的渐近线为y 3x,焦点坐标为 (4,0),(4,0),则双 曲线方程为 () A. x 2 4 y 2 121 B.x 2 2 y 2 4 1 C. x 2 24 y 2 8 1 D.x 2 8 y 2 241 解析: 选 A由题意可设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a 0, b 0),由已知条件可得 b a 3, c 4, 即
12、 b a 3, a 2b242, 解得 a 24, b 212, 故双曲线方程为 x 2 4 y 2 121. 2若双曲线过点(m, n)(mn 0),且渐近线方程为y x,则双曲线的焦点() A在 x 轴上B在 y 轴上 C在 x 轴或 y 轴上D无法判断是否在坐标轴上 解析: 选 Amn0,点 (m,n)在第一象限且在直线yx 的下方,故焦点在x 轴上 3(2012 华南师大附中模拟)已知 m 是两个正数2,8 的等比中项,则圆锥曲线x 2y 2 m1 的离心率为 () A. 3 2 或 5 2 B. 3 2 C.5 D. 3 2 或5 解析: 选 Dm 216, m 4, 故该曲线为椭圆
13、或双曲线 当 m4 时, e c a a 2b2 a 3 2 .当 m 4 时, e c a a 2b2 a 5. 4.(2012浙江高考 )如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共 焦点, M,N 是双曲线的两顶点若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 双曲线与椭圆的离心率的比值是() A3 B2 C.3 D.2 解析: 选 B设焦点为F( c,0),双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率e1 c a,椭 圆的离心率e2 c 2a,所以 e1 e2 2. 5(2013 哈尔滨模拟 )已知 P 是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0)上的点, F1,F2是其焦点, 双曲线的离心
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