2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析).pdf
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1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 知识能否忆起 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真 的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题 二、四种命题及其关系 1四种命题 命题表述形式 原命题若 p,则 q 逆命题若 q,则 p 否命题若綈 p,则 綈 q 逆否命题若綈 q,则 綈 p 2四种命题间的逆否关系 3四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 三、充分条件与必要条件 1如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件 2如果 p
2、? q,q? p,则 p 是 q 的充要条件 小题能否全取 1(教材习题改编 )下列命题是真命题的为() A若 1 x 1 y ,则 xyB若 x 21,则 x1 C若 x y,则xyD若 xb” 是“ a 2b2 ” 的充分条件; “|a|b| ”是“ a 2b2” 的必要条件; “ ab” 是“ acbc”的充要条件 解析: 由 23? / 2 2(3)2 知,该命题为假;由a 2b2? |a|2|b|2? |a|b|知,该命 题为真; ab? acb c,又acb c? ab, “ ab” 是“acbc”的充要条件为 真命题 答案: 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若p
3、是 q 的充分条件,则q 是 p 的必要条件,即“p? q” ? “q?p”; (2)传递性: 若 p 是 q 的充分 (必要 )条件,q 是 r 的充分 (必要 )条件,则 p 是 r 的充分 (必要 )条件 注意区分 “p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的一个充分不必要条件是q”两者的 不同,前者是 “p? q”而后者是 “ q? p” 2从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较 困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反 ” 四种命题的关系及真假判断 典题导入 例 1下列命题中正确的是() “若 x 2y2
4、0,则 x,y 不全为零”的否命题; “正多边形都相似”的逆命题; “若 m0,则 x 2xm0 有实根”的逆否命题; “若 x31 2是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 AB CD 自主解答 中否命题为“若 x 2y20,则 xy0”,正确;中, 14m,当 m0 时, 0,原命题正确,故其逆否命题正确;中逆命题不正确;中原命题正确故逆 否命题正确 答案 B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件 与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的 有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进
5、行推理,判定命题 为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手 以题试法 1以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号) “若 log2a0,则函数 f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题; 命题“若a0,则 ab0”的否命题是“若a0,则 ab0”; 命题“若x,y 都是偶数,则xy 也是偶数”的逆命题为真命题; 命题“若aM,则 b?M”与命题“若bM,则 a?M”等价 解析: 对于,若log2a0 log21,则 a1,所以函数f(x)logax 在其定义域内是增函 数,故不正确;对于,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;
6、对于,原命 题的逆命题是 “若 xy 是偶数,则x、y 都是偶数 ” ,是假命题,如1 34 是偶数,但3 和 1 均为奇数,故不正确;对于,不难看出,命题“若 aM,则 b?M”与命题 “若 b M,则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价, 所以正确 综上可知正确的说法有. 答案: 充分必要条件的判定 典题导入 例 2(1)(2012 福州质检 )“ x3 或 a 43. 1(2012 福建高考 )已知向量a(x1,2),b (2,1),则 ab 的充要条件是() Ax 1 2 B x 1 Cx5 D x0 解析: 选 Dab? 2(x 1)20,得 x0. 2命题“若一个数是负数,则它的
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