2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析).pdf
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1、平面向量的基本定理及坐标表示 知识能否忆起 一、平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理 如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且 只有一对实数 1, 2,使 a1e1 2e2. 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解 3平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底 对 于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使 ax i yj,把有序数对 (x,y)叫做向量 a 的坐标,记
2、作a(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 (2)设OAxiyj,则向量 OA的坐标 (x,y)就是终点A 的坐标,即若OA(x,y),则 A 点坐标为 (x,y),反之亦成立(O 是坐标原点 ) 二、平面向量坐标运算 1向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2), a(x 1, y1) 2向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB(x2x1, y2 y1),|AB|x2x1
3、 2 y 2y1 2. 三、平面向量共线的坐标表示 设 a(x1,y1), b(x2,y2),其中 b0.若 ab? x1y2x2y10. 小题能否全取 1(2012 广东高考 )若向量AB(1,2),BC(3,4),则 AC() A(4,6)B(4, 6) C(2, 2) D(2,2) 解析: 选 AACABBC,AC(1,2)(3,4)(4,6) 2已知向量a(2,1),b(x, 2),若 ab,则 ab 等于 () A(2, 1) B (2,1) C(3, 1) D (3,1) 解析: 选 A由 a b可得 2(2)1x0,故 x 4,所以 ab(2, 1) 3(教材习题改编)已知两点A
4、(4,1),B(7, 3),则与AB同向的单位向量是 () A. 3 5, 4 5 B. 3 5, 4 5 C. 4 5, 3 5 D. 4 5, 3 5 解析: 选 A A(4,1),B(7, 3),AB(3, 4), 与AB同向的单位向量为 AB |AB| 3 5, 4 5 . 4在平行四边形ABCD 中,若AB(1,3),AC (2,5),则AD _,BD _. 解析:ADBCACAB(2,5)(1,3)(1,2), BDADAB(1,2)(1,3)(0, 1) 答案: (1,2)(0, 1) 5梯形 ABCD 中, ABCD,AB2CD,M,N 分别是 CD,AB 的 中点,设ABa,
5、AD b.若MNmanb,则 n m_. 解析: MNMDDAAN 1 4ab 1 2a 1 4ab, m 1 4,n 1. n m 4. 答案: 4 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内 任意向量a 都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示, 且在基底确定后,这样的表示是唯 一的 2向量坐标与点的坐标的区别 要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不 同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息 平面向量基本定理及其应用 典题导入 例 1(2012 苏北四市联考 )如图,在四边形ABCD 中, AC 和 BD
6、 相交于点O,设AD a,ABb,若 AB2DC,则AO _(用向量 a 和 b表示 ) 自主解答 AB2DC, DOC BOA,且 OC OA 1 2, AO 2 3 AC 2 3( AD DC)2 3 a 1 2b 2 3a 1 3b. 答案 2 3a 1 3b 由题悟法 用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,也就 是利用已知向量表示未知向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减运算和数乘运算 以题试法 1(2012 南宁模拟 )在 ABC 中,M 为边 BC 上任意一点, N 为 AM 中点,AN AB AC,则 的值为 () A.
7、1 2 B.1 3 C.1 4 D1 解析: 选 A设CM mCBm(ABAC)(0m1),则 AM ACCM(1 m) ACmAB,AN1 2 AM m 2 AB 1m 2 AC ,所以 m 2 1m 2 1 2. 平面向量的坐标运算 典题导入 例 2(1)(2012西城期末 )已知向量a(3,1),b(0, 2)若实数 k 与向量 c满足 a2bkc,则 c 可以是 () A(3, 1)B(1,3) C(3, 1) D(1, 3) (2)已知 A(2,4),B(3, 1),C(3, 4)设AB a,BCb,CAc. 求 3ab3c; 求满足 ambnc 的实数 m,n. 自主解答 (1)
8、a(3,1),b(0, 2), a2b(3, 3)3(1,3) (2)由已知得a (5, 5),b(6, 3),c(1,8) 3ab3c3(5, 5)(6, 3)3(1,8) (1563, 15324) (6, 42) mbnc(6mn, 3m8n), 6mn 5, 3m8n 5, 解得 m 1, n 1. 答案 (1)D 本例中第 (2)题增加条件CM3c,ON2b,求 M,N 的坐标及向量MN的坐标 解: CMOMOC3c, OM 3cOC(3,24)(3, 4) (0,20) M(0,20)又CNONOC 2b, ON 2bOC(12,6)( 3, 4) (9,2), N(9,2) MN
9、(9, 18) 由题悟法 1向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转 化为数量运算 2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用 注意 向量的坐标与点的坐标不同:向量平移后,其起点和终点的坐标都发生变化, 但向量的坐标不变 以题试法 2(2012 淮安模拟 )已知向量a(6,4),b(0,2),OC a b,O 为坐标原点,若点 C 在函数 ysin 12x 的图象上,则实数 的值为 _ 解析: 由题意得OC(6,4) (0,2)(6,42 ), 故点 C 的坐标为 (6,42 ), 根据条件得42 sin6 121,解得 3 2. 答案
10、: 3 2 平面向量共线的坐标表示 典题导入 例 3(2011 广东高考 )已知向量a(1,2),b (1,0),c (3,4)若 为实数, (a b) c,则 () A. 1 4 B.1 2 C1 D2 自主解答 可得 a b (1 ,2),由 (a b)c 得(1 )432 0,所以 1 2. 答案 B 在本例条件下, 问是否存在非零常数 ,使 a b 和 a c平行?若平行,是同向还是 反向? 解: a b(1 ,2),a c(13 ,24 ), 若(a b)(a c), (1 )(24 )2(1 3 )0. 1.a b(2,2)与 a c(2, 2)反向 即存在 1 使 a b 与 a
11、 c 平行且反向 由题悟法 ab 的充要条件有两种表达方式 (1)a b(b0)? a b( R); (2)设 a(x1, y1),b (x2,y2),则 a b? x1y2x2y10. 两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前提条件 b0,而第 (2)种无 b0 限制 以题试法 3(1)(2012北京东城区综合练习)已知向量a(2,3),b( 1,2),若 manb 与 a 2b 共线,则 m n () A 2 B2 C 1 2 D.1 2 解析: 选 C由向量 a(2,3),b(1,2)得 manb(2mn,3m2n),a2b(4, 1),因为 ma nb 与
12、 a2b 共线,所以 (2mn)(1)(3m2n)40,整理得 m n 1 2. (2)(2012嘉兴模拟 )已知 a,b 是不共线的向量,AB ab,ACa b, , R, 那么 A,B, C 三点共线的充要条件为() A 2 B 1 C 1 D1 解析:选 DA, B, C 三点共线, 存在实数t, 满足AB tAC,即 ab ta tb, 又 a,b 是不共线的向量, t, 1t, 即 1. 1在 ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP2PC,点 Q 是 AC 的中点,若 PA(4,3), PQ (1,5),则BC等于 () A(2,7)B (6,21) C(2, 7) D (6, 2
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