2015届山东省青岛市高三上学期期末考试数学(理)试题及答案.pdf
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1、山东省青岛市 2015届高三上学期期末考试 数学试题 第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本题共10 个小题,每小题5 分,共50 分;在每小题给出的四个选项只有一个是符合 题目要求的 . 1.已知集合 2 1 log,1 ,1 2 x Ay yx xBy yxB,则A ,则AB A. 1 0, 2 B. 0,1C. 1 ,1 2 D. 2.若复数 12 ai i 是纯虚数,则实数a的值为 A. 2B. 1 2 C. 2D. 1 3.圆 2 2 11xy和圆 22 2440xyxy的位置关系为 A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能 4.已知函数 ln x fxe,则函数1yfx的
2、大致图象为 5.下列命题: 4k是方程 22 24380xykxyk表示圆的充要条件; 把sinyx的图象向右平移 3 单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 1 2 ,得到函数 sin 2 3 yx 的图象; 函数sin20 36 fxx 在,上为增函数; 椭圆 22 1 4 xy m 的焦距为2,则实数m 的值等于5. 其中正确命题的序号为 A.B.C.D. 6.若圆台两底面周长的比是1: 4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比 是 A.1: 16 B.39:129 C.13:129 D.3:27 7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B. 2
3、 C. 1 2 D. 1 8.函数 2 ln1fxx x 的零点所在的大致区间 是 A. 0,1B. 1,2 C. 2,eD. 3,4 9.有 3 位同学参加测试, 假设每位同学能通过测试的概率都是 1 3 , 且各人能否通过测试是相互独立的, 则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A. 8 27 B. 4 9 C. 2 3 D. 19 27 10.已 知 函 数 321 2 3 fxxaxbxc有 两 个 极 值 点 1212 ,112x xxx,且, 则 直 线 130bxay的斜率的取值范围是 A. 2 2 , 5 3 B. 2 3 , 5 2 C. 2 1 , 5 2 D. 22 ,
4、53 第 II 卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5 分,共 25 分. 11. 6 21 x x 的展开式中的常数项是_. 12.当01aa且时, 函数log11 a fxx的图像恒过点A, 若点 A 在直线0mxyn上, 则42 mn 的最小值为 _. 13.两曲线 2 0,2xyyxx所围成的图形的面积是_. 14.若数列 n a的通项公式为 * 122 1 11. 1 1 nn anNfnaaa n ,记,试通过计算 1 ,2 ,3fff的值,推测出fn_. 15.已知双曲线的方程为 22 22 10,0 xy ab ab ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的
5、距离为 5 3 c (c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率e 为_. 三、解答题:本大题共6小题,共75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12 分) 已知直线两直线 12 1 :cos10:sin, 26 lxylyxABC ;中,内角 A,B,C 对边分别为 , ,2 3,4=a b cacA,且当时,两直线恰好相互垂直; (I)求 A 值; (II)求 b 和ABC的面积 17. (本小题满分12 分) 右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知8090 分数段的学 员数为 21 人 (I)求该专业毕业总人数N
6、 和 9095 分数段内的人数n; (II)现欲将 9095分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业生,且其中 至少有一名男生的概率为 3 5 ,求n名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)? (III)在(II)的结论下,设随机变量表示 n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数,求的分 布列和数学期望. 18. (本小题满分12 分) 如图, ABCD 为梯形,PD平面 ABCD,AB/CD , =ADC=90BAD o 22 ,3 ,3DCABa DAa PDa,E 为 BC 中点,连结 AE,交 BD 于 O. (I)平面PBD平面 P AE (II
7、)求二面角DPCE的大小(若非特殊角,求出其余弦即可) 19. (本小题满分12 分) 已知 n S是等差数列 n a的前 n 项和,数列 n b是等比数列, 15 1 ,1 2 ba恰为 4 2 1 S b 与的等比中项,圆 2 2 2 :22 n CxnySn,直线: lxyn,对任意nN,直线l都与圆 C 相切. (I)求数列 nn ab,的通项公式; (II)若1n时, 1 111 1111 1,2., 1111 12 nn nnn cncc bbbb 时,的前 n 项和为 n T,求证: 对任意2n,都有1 2 n n T 20. (本小题满分13 分) 已知 22 1,ln1,1g
8、 xbxcxfxxaxxg xx在处的切线为2yx (I)求,b c的值; (II)若1afx,求的极值; (III)设h xfxg x,是否存在实数,0,axe当(2.718e,为自然常数)时,函数h x 的最小值为 3. 21. (本小题满分14 分) 已知抛物线 2 1: 2Cypx上一点 0 3My,到其焦点 F的距离为 4;椭圆 22 2 22 10 yx Cab ab :的 离心率 2 2 e,且过抛物线的焦点 F. (I)求抛物线 1 C和椭圆 2 C的标准方程; (II)过点 F 的直线 1 l交抛物线 1 C于 A、B 两不同点,交y轴于点 N,已知NAAF NBBF uur
9、uuu r uu u ruu u r ,求 证:为定值. (III)直线 2 l交椭圆 2 C于 P,Q 两不同点,P,Q 在 x轴的射影分别为P,Q, 10OP OQOP OQ uu u r uuu ruuu r uuu r gg,若点 S满足:OSOPOQ uu ruu u ruuu r , 证明:点 S在椭圆 2 C上. 16 (本小题满分12 分) 解: ( )当A时,直线 12 1 :cos10;:sin() 26 lxylyx的斜率分别为 12 2cos,sin() 6 kA kA,两直线相互垂直 所以 12 ( 2cos)sin()1 6 k kAA 即 1 cossin() 6
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